Determine o jacobiano da transformação. x = e^(2u) cos(v), y = e^(2u) sen(v)

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que envolve encontrar o jacobiano de uma transformação. A transformação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o jacobiano e como calcular a matriz jacobiana para transformar coordenadas de para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o jacobiano. Em cálculo multivariável, o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de uma transformação. Ele nos ajuda a entender como as áreas ou volumes se transformam quando mudamos de um sistema de coordenadas para outro.

Passo 3

Vamos montar a matriz jacobiana. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e . Ou seja, precisamos de:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, montamos a matriz jacobiana com essas derivadas:

Passo 6

Para encontrar o jacobiano, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Sabemos que , então:

Resposta

O jacobiano da transformação é:

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