Determine o jacobiano da transformação.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo que envolve encontrar o jacobiano de uma transformação. A transformação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o jacobiano e como calcular a matriz jacobiana para transformar coordenadas de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o jacobiano. Em cálculo multivariável, o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de uma transformação. Ele nos ajuda a entender como as áreas ou volumes se transformam quando mudamos de um sistema de coordenadas para outro.
Passo 3
Vamos montar a matriz jacobiana. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Ou seja, precisamos de:
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, montamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
Passo 6
Para encontrar o jacobiano, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Sabemos que , então:
Resposta
O jacobiano da transformação é:
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Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
, onde
é a região limitada pelas retas
,
e