Determine o jacobiano da transformação. x = u + v + w, y = u + v - w, z = u - v + w

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o jacobiano de uma transformação. Basicamente, isso significa calcular um determinante que nos ajuda a entender como as variáveis estão relacionadas na mudança de coordenadas. Vamos precisar das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever direitinho a transformação que foi dada:
Essas equações mostram como , e dependem de , e .

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz jacobiana, que é uma matriz com as derivadas parciais dessas equações. Cada entrada da matriz será uma derivada de uma variável nova em relação a uma antiga.
A matriz fica assim:
Vamos calcular cada derivada:
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o jacobiano:
Vamos simplificar passo a passo:

Resposta

O jacobiano da transformação é -4.

Exercícios relacionados

  1. y' + (1/t) y = cos(2t), t > 0
Determine o jacobiano da transformação. x = u - v^2, y = u + v^2
Determine o jacobiano da transformação. x = e^(2u) cos(v), y = e^(2u) sen(v)
Determine o jacobiano da transformação. x = 2u, y = 3v^2, z = 4w^3