31-34 Calcule a integral definida.
31. integral(3 i+4 t j) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral(3 i + 4 t j) , dt. Aqui estamos lidando com cálculo integral aplicado a vetores. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente usando as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando temos uma integral de um vetor, como 3 i + 4 t j, podemos integrar cada parte individualmente. Isso significa que vamos integrar 3 i e 4 t j de forma separada em relação a t.

Passo 3

Vamos começar integrando a componente i. A expressão é 3 i. A integral de uma constante em relação a t é a constante multiplicada por t. Então:
integral 3 i , dt = 3 t i

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente j, que é 4 t j. Aqui, usamos a regra da potência para integração. A integral de t^n em relação a t é t^n+1n+1. No nosso caso, n = 1:
integral 4 t j , dt = 4 cdot t^22 j = 2 t^2 j

Resposta

Juntando as duas componentes integradas, a integral definida é:
3 t i + 2 t^2 j

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