Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
34. Função
h(x) = f(g(x)), f(x) = 1/(x-1), g(x) = x^2 + 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir a continuidade da função no intervalo fechado. Se tiver alguma descontinuidade, precisamos dizer se ela é removível ou não. A gente vai precisar usar conceitos de continuidade e composição de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . Ela é definida como a composição de duas funções:
Então, substituindo em , temos:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto, não tiver saltos ou assíntotas, e o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no ponto. No caso de , precisamos verificar onde a função está definida.

Passo 4

Olha só, o denominador de é . Para a função estar definida, o denominador não pode ser zero:
Resolvendo:
Como o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, nunca será igual a -4. Isso significa que o denominador nunca será zero para nenhum número real .

Passo 5

Como o denominador nunca é zero, a função está sempre definida para todo número real. Além disso, é uma função racional onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, que são funções contínuas em todo o seu domínio. Já vimos que o domínio aqui é todo real, então é contínua em todos os pontos.

Resposta

A função é contínua em todo o conjunto dos números reais e não apresenta nenhuma descontinuidade.

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