Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
34. Função
34. Função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir a continuidade da função
no intervalo fechado. Se tiver alguma descontinuidade, precisamos dizer se ela é removível ou não. A gente vai precisar usar conceitos de continuidade e composição de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função
. Ela é definida como a composição de duas funções:
Então, substituindo
em
, temos:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto, não tiver saltos ou assíntotas, e o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no ponto. No caso de
, precisamos verificar onde a função está definida.
Passo 4
Olha só, o denominador de
é
. Para a função estar definida, o denominador não pode ser zero:
Resolvendo:
Como o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo,
nunca será igual a -4. Isso significa que o denominador nunca será zero para nenhum número real
.
Passo 5
Como o denominador nunca é zero, a função
está sempre definida para todo número real. Além disso,
é uma função racional onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, que são funções contínuas em todo o seu domínio. Já vimos que o domínio aqui é todo real, então
é contínua em todos os pontos.
Resposta
A função
é contínua em todo o conjunto dos números reais e não apresenta nenhuma descontinuidade.
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31-34 Calcule a integral definida.
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Uma caixa retangular com um volume de
é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por
e os lados de um material que custa 5 centavos por
. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.
Determine um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
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