Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
28. f(x) = { x^2 - 4, x <= 0; 3x + 1, x > 0 }

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. O objetivo é identificar onde a função dada é contínua e explicar o porquê. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e verificar os intervalos definidos pela função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para . Nessa parte, a função é definida por . Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é . Portanto, a função é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da função onde . Aqui, a função é definida por . Essa também é uma função polinomial, especificamente uma função linear, que é contínua em todo o seu domínio, que é . Assim, a função continua sendo contínua nesse intervalo.

Passo 4

Precisamos verificar o ponto onde as duas partes da função se encontram, que é em . Para isso, vamos calcular os limites laterais e o valor da função nesse ponto:
  • Valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Como o limite pela esquerda ( ) é diferente do limite pela direita ( ), os limites não coincidem. Além disso, o valor da função em ( ) não é igual ao limite pela direita ( ). Portanto, a função apresenta uma descontinuidade em .

Resposta

A função é contínua nos intervalos e . Ela apresenta descontinuidade em porque os limites laterais são diferentes, ou seja, .

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