Uma caixa retangular com um volume de é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por e os lados de um material que custa 5 centavos por . Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.

Passo 1

Então, a gente tem uma caixa retangular com volume de . Essa caixa é feita com dois tipos de materiais: o topo e a base custam 10 centavos por metro quadrado, e os lados custam 5 centavos por metro quadrado. Nosso objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa (comprimento, largura e altura) de forma que o custo total dos materiais seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente otimização com funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • = comprimento da base (em metros)
  • = largura da base (em metros)
  • = altura da caixa (em metros)

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Isso nos dá uma relação entre , e . Vamos guardar essa equação para usarmos depois.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa:
  • Topo e base: cada um tem área , então juntos são .
  • Lados: temos dois lados de e dois lados de , totalizando .

Passo 5

Com as áreas, podemos calcular o custo total dos materiais:
  • Custo do topo e base: centavos.
  • Custo dos lados: centavos.
    Então, o custo total é:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos usar a relação do volume para expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a equação do volume para :

Passo 7

Substituímos na equação do custo:
Simplificando:

Passo 8

Para minimizar o custo, precisamos encontrar os valores de e que minimizam . Isso envolve tirar as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.

Passo 9

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Igualando a zero:

Passo 10

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Igualando a zero:

Passo 11

Agora, temos duas equações:
Vamos substituir a segunda na primeira:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Desconsideramos (não faz sentido geométrico), então:

Passo 12

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação :

Passo 13

Com e , vamos encontrar usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo dos materiais são:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

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