Uma caixa retangular com um volume de
é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por
e os lados de um material que custa 5 centavos por
. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.
Passo 1
Então, a gente tem uma caixa retangular com volume de
. Essa caixa é feita com dois tipos de materiais: o topo e a base custam 10 centavos por metro quadrado, e os lados custam 5 centavos por metro quadrado. Nosso objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa (comprimento, largura e altura) de forma que o custo total dos materiais seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente otimização com funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= comprimento da base (em metros) -
= largura da base (em metros) -
= altura da caixa (em metros)
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Isso nos dá uma relação entre
,
e
. Vamos guardar essa equação para usarmos depois.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa:
- Topo e base: cada um tem área
, então juntos são . - Lados: temos dois lados de
e dois lados de , totalizando .
Passo 5
Com as áreas, podemos calcular o custo total dos materiais:
- Custo do topo e base:
centavos. - Custo dos lados:
centavos.
Então, o custo totalé:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos usar a relação do volume para expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a equação do volume para
:
Passo 7
Substituímos
na equação do custo:
Simplificando:
Passo 8
Para minimizar o custo, precisamos encontrar os valores de
e
que minimizam
. Isso envolve tirar as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
Passo 9
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 10
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 11
Agora, temos duas equações:
Vamos substituir a segunda na primeira:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Desconsideramos
(não faz sentido geométrico), então:
Passo 12
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação
:
Passo 13
Com
e
, vamos encontrar
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo dos materiais são:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura:
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