Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
37. f(x) = 1/(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente discutir a continuidade da função num intervalo fechado. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de Limites e Continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade, identificar possíveis pontos de descontinuidade na função e analisar o tipo de descontinuidade, se houver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua num ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no seu gráfico nesse ponto. Na prática, para que seja contínua em , três condições precisam ser atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . O denominador não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, . Isso significa que a função não está definida em , e esse é um potencial ponto de descontinuidade.

Passo 4

Vamos ver se essa descontinuidade é removível. Uma descontinuidade é removível se o limite de quando se aproxima de 2 existir, mas não estiver definido ou for diferente desse limite. Calculando o limite:
Quando se aproxima de 2 pela direita ( ), é um número muito pequeno positivo, então tende a . Já quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), é um número muito pequeno negativo, então tende a . Como os limites à direita e à esquerda não são iguais (eles tendem a infinito positivo e negativo, respectivamente), o limite geral não existe.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de 2 não existe, a descontinuidade em não é removível. Isso significa que a função apresenta uma descontinuidade do tipo assíntota vertical em .

Resposta

A função apresenta uma descontinuidade no ponto , que é uma descontinuidade não removível do tipo assíntota vertical. Fora desse ponto, a fun��ão é contínua no intervalo fechado considerado.

Exercícios relacionados