Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente discutir a continuidade da função
num intervalo fechado. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de Limites e Continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade, identificar possíveis pontos de descontinuidade na função e analisar o tipo de descontinuidade, se houver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua num ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no seu gráfico nesse ponto. Na prática, para que
seja contínua em
, três condições precisam ser atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. O denominador
não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então,
. Isso significa que a função não está definida em
, e esse é um potencial ponto de descontinuidade.
Passo 4
Vamos ver se essa descontinuidade é removível. Uma descontinuidade é removível se o limite de
quando
se aproxima de 2 existir, mas
não estiver definido ou for diferente desse limite. Calculando o limite:
Quando
se aproxima de 2 pela direita (
),
é um número muito pequeno positivo, então
tende a
. Já quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
),
é um número muito pequeno negativo, então
tende a
. Como os limites à direita e à esquerda não são iguais (eles tendem a infinito positivo e negativo, respectivamente), o limite geral não existe.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de 2 não existe, a descontinuidade em
não é removível. Isso significa que a função apresenta uma descontinuidade do tipo assíntota vertical em
.
Resposta
A função
apresenta uma descontinuidade no ponto
, que é uma descontinuidade não removível do tipo assíntota vertical. Fora desse ponto, a fun��ão é contínua no intervalo fechado considerado.