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(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação
determinar
como uma
função diferenciável de
e
, então, em pontos onde
, temos
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação
função diferenciável de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente generalizar um resultado para funções de três variáveis. Basicamente, temos uma equação do tipo
, e ela determina
como uma função diferenciável de
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de diferenciação implícita e entender como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função de
e
, ou seja, podemos escrever
. A equação
relaciona essas três variáveis de forma que, para cada
e
, existe um
que satisfaz a equação.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que
depende de
e
, então precisamos usar a regra da cadeia.
Diferenciando em relação a
:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
. Multiplicamos
pela derivada de
em relação a
devido à regra da cadeia.
Passo 4
Agora, isolamos
na equação que obtivemos:
Aqui, simplificamos dividindo ambos os lados por
(desde que
) para obter a expressão da derivada parcial de
em relação a
.
Passo 5
De forma similar, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Diferenciando
em relação a
:
Isolando
:
Resposta
Assim, mostramos que se
determina
como uma função diferenciável de
e
, então as derivadas parciais de
são dadas por:
Exercícios relacionados
8
(a) Suponha que seja diferenciável e que a equação
defina
como uma função diferenciável de
. Mostre que em qualquer ponto onde
, temos
(a) Suponha que
31
Calcule a área da região delimitada por e
.
Calcule a área da região delimitada por
Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
(b) ;
(b)
Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto
na superfície dada:
(b) ;
(b)