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(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação F(x, y, z)=0 determinar z como uma
função diferenciável de x e y, então, em pontos onde Fz neq 0, temos
partial zpartial x=-FxFz, partial zpartial y=-FyFz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente generalizar um resultado para funções de três variáveis. Basicamente, temos uma equação do tipo , e ela determina como uma função diferenciável de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de diferenciação implícita e entender como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de e , ou seja, podemos escrever . A equação relaciona essas três variáveis de forma que, para cada e , existe um que satisfaz a equação.

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada parcial de partial Fpartial x + partial Fpartial z cdot partial zpartial x = 0 em relação a , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que depende de e , então precisamos usar a regra da cadeia.
Diferenciando em relação a :
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a . Multiplicamos pela derivada de em relação a devido à regra da cadeia.

Passo 4

Agora, isolamos partial Fpartial z cdot partial zpartial x = -partial Fpartial x na equação que obtivemos:
partial zpartial x = -partial Fpartial xpartial Fpartial z
partial zpartial x = -FxFz
Aqui, simplificamos dividindo ambos os lados por (desde que ) para obter a expressão da derivada parcial de em relação a .

Passo 5

De forma similar, vamos encontrar a derivada parcial de partial Fpartial y + partial Fpartial z cdot partial zpartial y = 0 em relação a partial zpartial y = -partial Fpartial ypartial Fpartial z . Diferenciando partial zpartial y = -FyFz em relação a :
Isolando :

Resposta

Assim, mostramos que se partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz determina como uma função diferenciável de e , então as derivadas parciais de são dadas por:

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