1. Dada f(x, y) = { (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
    Ache (a) f1(0,0); (b) f2(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras: uma para quando não é e outra quando é exatamente . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Isso envolve entender como a função muda quando a gente varia somente uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial é definida como o limite:

Passo 3

Agora, precisamos calcular . Olhando a definição da função, quando e , temos:

Passo 4

Substituindo na expressão da derivada parcial:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial é definida como o limite:

Passo 6

Vamos calcular . Quando e , temos:

Passo 7

Substituindo na expressão da derivada parcial:

Resposta

(a)
(b)

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