1. Dada f(x, y) = { (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
    Ache (a) f1(0,0); (b) f2(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras: uma para quando não é e outra quando é exatamente . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Isso envolve entender como a função muda quando a gente varia somente uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial é definida como o limite:

Passo 3

Agora, precisamos calcular . Olhando a definição da função, quando e , temos:

Passo 4

Substituindo na expressão da derivada parcial:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial é definida como o limite:

Passo 6

Vamos calcular . Quando e , temos:

Passo 7

Substituindo na expressão da derivada parcial:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
24. f(r, θ, φ) = 4 r^2 sen(θ) + 5 e^r cos(θ) sen(φ) - 2 cos(φ); f2(r, θ, φ)
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(f) y = x^2, y = raiz(x), Resp: 1/3
Nos Exercícios 27 e 28, ache fx(x, y) e fy(x, y).
27. f(x, y)=integralx^y ln sen t d t
Determine o módulo de:
(a) (2 - i)^2 * (4 + 6 i)
(d) (i + 2) / (i - 2)
(b) (3-i)/((6+2i)^3)
(e) (i+1) * (i+2) * (i+3)
© (raiz(3) + i) * (raiz(3) - i)