Nos Exercícios 27 e 28, ache fx(x, y) e fy(x, y).
27. f(x, y)=integralx^y ln sen t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as derivadas parciais de em relação a e . Isso significa que vamos calcular e . Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial mede como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, depende de e , então vamos ver como ela muda quando mudamos ou individualmente.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de Leibniz para derivar a integral com limites variáveis. A regra diz que se tivermos uma função definida por uma integral como fx(x, y) = -g(a(x)) cdot a'(x) , então as derivadas parciais são:
fy(x, y) = g(b(y)) cdot b'(y)

Passo 4

No nosso caso, fx(x, y) = -ln(sin x) cdot ddx(x) = -ln(sin x) cdot 1 = -ln(sin x) e fy(x, y) = ln(sin y) cdot ddy(y) = ln(sin y) cdot 1 = ln(sin y) , além de . Vamos calcular cada derivada:
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de fx(x, y) = -ln(sin x) são:
fy(x, y) = ln(sin y)
e

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