Nos Exercícios 27 e 28, ache fx(x, y) e fy(x, y).
27. f(x, y)=integralx^y ln sen t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as derivadas parciais de em relação a e . Isso significa que vamos calcular e . Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial mede como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, depende de e , então vamos ver como ela muda quando mudamos ou individualmente.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de Leibniz para derivar a integral com limites variáveis. A regra diz que se tivermos uma função definida por uma integral como fx(x, y) = -g(a(x)) cdot a'(x) , então as derivadas parciais são:
fy(x, y) = g(b(y)) cdot b'(y)

Passo 4

No nosso caso, fx(x, y) = -ln(sin x) cdot ddx(x) = -ln(sin x) cdot 1 = -ln(sin x) e fy(x, y) = ln(sin y) cdot ddy(y) = ln(sin y) cdot 1 = ln(sin y) , além de . Vamos calcular cada derivada:
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de fx(x, y) = -ln(sin x) são:
fy(x, y) = ln(sin y)
e

Exercícios relacionados

  1. Dada f(x, y) = { (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
    Ache (a) f1(0,0); (b) f2(0,0).
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
24. f(r, θ, φ) = 4 r^2 sen(θ) + 5 e^r cos(θ) sen(φ) - 2 cos(φ); f2(r, θ, φ)
Determine o módulo de:
(a) (2 - i)^2 * (4 + 6 i)
(d) (i + 2) / (i - 2)
(b) (3-i)/((6+2i)^3)
(e) (i+1) * (i+2) * (i+3)
© (raiz(3) + i) * (raiz(3) - i)
Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(e) A região no 1^0 quadrante delimitada por y = 1/3 x^3, y = 2 x, gira em torno do eixo y. Resp: 512 pi / 15.