Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
24. f(r, θ, φ) = 4 r^2 sen(θ) + 5 e^r cos(θ) sen(φ) - 2 cos(φ); f2(r, θ, φ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 24 juntos! A pergunta pede para encontrar a derivada parcial da função dada, mantendo todas as outras variáveis constantes. Isso está dentro do estudo de derivadas parciais, que são usadas quando a gente quer ver como uma função muda em relação a uma variável específica, enquanto as outras permanecem fixas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Queremos encontrar a derivada parcial em relação à segunda variável, que é . Ou seja, vamos calcular .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função em relação a , lembrando que ao derivar parcialmente, tratamos e como constantes.
  1. Primeiro termo:
A derivada de em relação a é . Então:
  1. Segundo termo:
Aqui, são constantes em relação a . A derivada de em relação a é . Então:
  1. Terceiro termo:
Este termo não depende de , então a derivada dele em relação a é zero:

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter a derivada parcial total:
Simplificando:

Resposta

A derivada parcial é:

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