1. Encontrar a área das regiões e , vistas na figura a seguir:

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para encontrar a área das regiões e mostradas em uma figura. Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas, especialmente o seno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, observamos que a área está sendo calculada por uma integral definida. A expressão dada é:
Vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes dentro da integral.

Passo 3

Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Note que trocamos os limites de integração para manter a ordem correta e o sinal negativo foi distribuído.

Passo 4

Agora, precisamos integrar . Sabemos que:
Essa é uma identidade trigonométrica que facilita a integração.

Passo 5

Substituindo na integral:
Isso simplifica para:

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
Então, substituindo os limites de integração:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto, temos:

Resposta

A área das regiões e é unidades de área.

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