1. Encontrar a área das regiões S1 e S2, vistas na figura a seguir:
& =4 integralpi / 2^0(-8 sen^2 t+2 sen^2 t) d t & =-4 integral0^pi / 2-6 sen^2 t d t & =24 integral0^pi / 2(12-12 cos 2 t) d t & =12(t-12 sen 2 t)|0 ^pi / 2 & =12 cdot pi2 & =6 pi ua

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para encontrar a área das regiões e mostradas em uma figura. Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas, especialmente o seno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, observamos que a área está sendo calculada por uma integral definida. A expressão dada é:
Vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes dentro da integral.

Passo 3

Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Note que trocamos os limites de integração para manter a ordem correta e o sinal negativo foi distribuído.

Passo 4

Agora, precisamos integrar . Sabemos que:
Essa é uma identidade trigonométrica que facilita a integração.

Passo 5

Substituindo na integral:
24 integral0^pi / 2 ( 12 - 12 cos 2t ) dt
Isso simplifica para:
24 [ integral0^pi / 2 12 dt - integral0^pi / 2 12 cos 2t , dt ]

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
  1. 12 [ t - 12 sen 2t |0^pi / 2 ]
Então, substituindo os limites de integração:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para pi / 2 - 12 sen (pi) = pi / 2 - 0 = pi / 2 :
Para 0 - 12 sen 0 = 0 - 0 = 0 :
Portanto, temos:
12 cdot pi2 = 6pi ua

Resposta

A área das regiões e é unidades de área.

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