Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
25. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como calcular áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam, ou seja, onde elas se cruzam. Isso ajuda a definir os limites de integração para calcular a área.
Para encontrar onde intersecta :
Sabemos que , então:
Agora, para intersecta :
Também sabemos que , então:
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar as curvas para entender qual está acima da outra no intervalo de a .
Para : cresce exponencialmente, enquanto decresce.
Para : cresce exponencialmente, enquanto decresce.
Isso significa que, de a , a curva está abaixo de , e de a , a curva está abaixo de .
Passo 4
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
De a : Área entre e
De a : Área entre e
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira área:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos :
Em seguida, integramos :
Sabemos que:
Então:
Agora, substituímos os limites:
Para :
Para :
Calculando :
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda área:
Resolvendo essa integral:
Primeiro, integramos :
Em seguida, integramos :
Sabemos que:
Então:
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Calculando :
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.