Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
25.
e
25.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como calcular áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam, ou seja, onde elas se cruzam. Isso ajuda a definir os limites de integração para calcular a área.
Para encontrar onde
intersecta
:
Sabemos que
, então:
Agora, para
intersecta
:
Também sabemos que
, então:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar as curvas para entender qual está acima da outra no intervalo de
a
.
- Para
: cresce exponencialmente, enquanto decresce. - Para
: cresce exponencialmente, enquanto decresce.
Isso significa que, de
a
, a curva
está abaixo de
, e de
a
, a curva
está abaixo de
.
Passo 4
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
- De
a : Área entre e - De
a : Área entre e
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira área:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos
:
Em seguida, integramos
:
Sabemos que:
Sabemos que:
Então:
Agora, substituímos os limites:
Para :
Para
Para
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda área:
Resolvendo essa integral:
Primeiro, integramos
:
Em seguida, integramos
:
Sabemos que:
Sabemos que:
Então:
Substituindo os limites:
Para :
Para
Para
:
Calculando
:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.