Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
25. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como calcular áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam, ou seja, onde elas se cruzam. Isso ajuda a definir os limites de integração para calcular a área.
Para encontrar onde intersecta :
Sabemos que , então:
Agora, para intersecta :
Também sabemos que , então:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar as curvas para entender qual está acima da outra no intervalo de a .
  • Para : cresce exponencialmente, enquanto decresce.
  • Para : cresce exponencialmente, enquanto decresce.
Isso significa que, de a , a curva está abaixo de , e de a , a curva está abaixo de .

Passo 4

Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. De a : Área entre e
  2. De a : Área entre e

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira área:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos :
Em seguida, integramos :
Sabemos que:
Então:
Agora, substituímos os limites:
Para :
Para :
Calculando :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda área:
Resolvendo essa integral:
Primeiro, integramos :
Em seguida, integramos :
Sabemos que:
Então:
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Calculando :

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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