Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
12.
, de
até
12.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da curva
entre os pontos
e
. Isso envolve o conteúdo de cálculo, mais especificamente o cálculo de integrais para determinar o comprimento de uma curva. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre
e
:
Então, nosso objetivo é encontrar
e depois calcular essa integral.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para simplificar a integral, podemos reescrever a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
e
. Quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral:
No nosso caso,
, então a integral se torna:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O comprimento de arco da curva é aproximadamente
unidades de comprimento.