Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
12. , de até

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da curva entre os pontos e . Isso envolve o conteúdo de cálculo, mais especificamente o cálculo de integrais para determinar o comprimento de uma curva. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e :
Então, nosso objetivo é encontrar e depois calcular essa integral.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para simplificar a integral, podemos reescrever a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então e . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral:
No nosso caso, , então a integral se torna:
Simplificando:

Passo 8

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O comprimento de arco da curva é aproximadamente unidades de comprimento.

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25. e
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18. , de até
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