Dados três vetores no , explique duas formas de verificar se eles são LI ou LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se três vetores no espaço tridimensional, ou seja, no , são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e determinantes, que são ferramentas fundamentais em álgebra linear.

Passo 2

A primeira forma de verificar se os três vetores são LI ou LD é usando o determinante. Para isso, a gente forma uma matriz onde cada coluna é um dos vetores. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, se o determinante for zero, eles são linearmente dependentes.
Por exemplo, se temos os vetores , e , formamos a matriz:
Calculamos o determinante de , ou seja, . Se , então , e são LI. Se , são LD.

Passo 3

A segunda forma é verificar se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Ou seja, tentar achar coeficientes e tal que:
Se conseguimos encontrar esses coeficientes, então o vetor depende dos vetores e , o que significa que os três vetores são linearmente dependentes. Se não for possível expressar dessa forma (ou qualquer um dos vetores em termos dos outros dois), então os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, para verificar se três vetores no são Linearmente Independentes ou Dependentes, podemos:
  1. Calcular o determinante da matriz formada por eles e verificar se é zero ou não.
  2. Verificar se um dos vetores pode ser expresso como combinação linear dos outros dois.
Se pelo menos uma dessas condições indicar dependência, os vetores são LD. Caso contrário, são LI.

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