Em cada um dos casos verifique se o conjunto contido no espaço vetorial é um subespaço do espaço vetorial . Lembramos aqui que são os polinômios em são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de em .
b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: O vetor de está em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar de , então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Precisamos ver se ele está em .
Aqui, . Como é um número inteiro (), o vetor está sim em .
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que e são inteiros.
A soma desses vetores é .
Precisamos verificar se também é inteiro.
Como a soma de dois inteiros é sempre inteiro (), temos que .
Portanto, está em , e a segunda condição também está satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em e um escalar em .
A multiplicação por escalar fica .
Precisamos verificar se é inteiro.
Aqui está o problema: é inteiro (), mas pode ser qualquer elemento de . Se não for um inteiro, geralmente não será inteiro.
Por exemplo, se e , então , que é inteiro. Mas se , então , que não é inteiro. Como pode ser qualquer escalar em , não podemos garantir que será sempre inteiro.
Assim, nem sempre está em , o que viola a terceira condição.
Resposta
Como o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço de .