Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
de está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar de , então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Precisamos ver se ele está em
.
- Aqui,
. Como é um número inteiro ( ), o vetor está sim em .
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
. Isso significa que
e
são inteiros.
- A soma desses vetores é
.
Precisamos verificar se
também é inteiro.
- Como a soma de dois inteiros é sempre inteiro (
), temos que .
Portanto,
está em
, e a segunda condição também está satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
em
.
- A multiplicação por escalar fica
.
Precisamos verificar se
é inteiro.
- Aqui está o problema:
é inteiro ( ), mas pode ser qualquer elemento de . Se não for um inteiro, geralmente não será inteiro.
Por exemplo, se
e
, então
, que é inteiro. Mas se
, então
, que não é inteiro. Como
pode ser qualquer escalar em
, não podemos garantir que
será sempre inteiro.
Assim,
nem sempre está em
, o que viola a terceira condição.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço de
.