1. x dy/dx + y = 4x + 1, y(1) = 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
com uma condição inicial . Vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem pra resolver isso. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação no formato padrão e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação original é:
Vamos dividir todos os termos por x (assumindo que x != 0) para isolar :
Agora está na forma padrão, onde e .

Passo 3

Agora que temos P(x) e Q(x) identificados, vamos precisar calcular o fator integrante. O fator integrante, geralmente representado por mu(x), é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação diferencial pela mu(x) para facilitar a resolução:
Isso simplifica para:
Pronto, criar o fator integrante nos ajuda a escrever o lado esquerdo da equação como a derivada do produto .

Passo 5

Agora, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como a derivada de . Ou seja:
Substituindo e , temos:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y:
Integrando, obtemos:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de C.
Substituindo x = 1 e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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