Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
com uma condição inicial
. Vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem pra resolver isso. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação no formato padrão e aplicar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação original é:
Vamos dividir todos os termos por
(assumindo que
) para isolar
:
Agora está na forma padrão, onde
e
.
Passo 3
Agora que temos
e
identificados, vamos precisar calcular o fator integrante. O fator integrante, geralmente representado por
, é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação diferencial pela
para facilitar a resolução:
Isso simplifica para:
Pronto, criar o fator integrante nos ajuda a escrever o lado esquerdo da equação como a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como a derivada de
. Ou seja:
Substituindo
e
, temos:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.