1. x(x+1) dy/dx + x*y = 1, y(e) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem que precisamos resolver:
Aqui, vamos usar o método das equações diferenciais lineares para encontrar a função que satisfaz essa equação, além de aplicar a condição inicial fornecida.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. Dividindo ambos os lados por , temos:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação padrão :

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando o fator integrante:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos para encontrar a solução geral:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para determinar a constante :
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto,

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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