Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem que precisamos resolver:
Aqui, vamos usar o método das equações diferenciais lineares para encontrar a função
que satisfaz essa equação, além de aplicar a condição inicial fornecida.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação padrão
:
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
para encontrar a solução geral:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para determinar a constante
:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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- Express the solution of the initial-value problem
, in terms of .