Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função dada, identificar onde ela está crescente ou decrescente e também determinar o conjunto imagem dela. A função que estamos lidando é uma função por partes, ou seja, ela tem comportamentos diferentes dependendo do valor de
. Vamos usar conceitos de funções quadráticas e análise de intervalos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função:
para
. Essa é uma função quadrática da forma
. Sabemos que o termo
indica que a parábola está abrindo para baixo. O vértice dessa parábola é o ponto mais alto.
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula do vértice para funções quadráticas:
. No nosso caso,
e
, então
. Substituindo na função,
. Então, o vértice é em
.
Como a parábola abre para baixo, ela está decrescente à direita do vértice e crescente à esquerda. Mas como estamos limitando
, vamos considerar esse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos olhar a segunda parte da função:
para
. Essa também é uma função quadrática, mas dessa vez com
, o que significa que a parábola abre para cima.
Para encontrar o vértice dessa parábola:
. Substituindo na função,
. Então, o vértice é em
.
Apesar de a parábola abrir para cima, nosso interesse é no intervalo
. Nesse intervalo, a função está sempre crescendo porque, à medida que
aumenta,
domina o comportamento, fazendo com que
aumente.
Passo 4
Agora, vamos juntar as informações para identificar onde a função é crescente ou decrescente:
-
Para
: A função é uma parábola que está decrescendo para e crescendo para . Mas como estamos considerando , a parte relevante é . Portanto: - Crescente:
- Decrescente:
- Crescente:
-
Para
: A função está sempre crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Vamos agora determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
.
-
Para
: O valor máximo de ocorre em , e a função diminui à medida que se afasta de 0. Não há um limite inferior nesse intervalo porque à medida que tende a , tende a . -
Para
: Como a função está sempre crescendo e não tem limite superior, o valor mínimo ocorre em . Calculando, . E continua aumentando para .
Então, combinando ambos os intervalos:
- A função pode assumir todos os valores menores ou iguais a 4 e todos os valores maiores ou iguais a 3. Observando que entre 3 e 4, a função cobre todos os valores.
Resposta
A função
é composta por duas partes:
-
Para
: - Gráfico: Uma parábola que abre para baixo com vértice em
. - Crescente: Em
. - Decrescente: Em
.
- Gráfico: Uma parábola que abre para baixo com vértice em
-
Para
: - Gráfico: Uma parábola que abre para cima.
- Crescente: Em todo o intervalo
.
Conjunto imagem:
- Todos os valores
tais que ou .
Exercícios relacionados
Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
- Radioactive Decay Series The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
where
and
are constants. Discuss how to solve this system subject to
. Carry out your ideas.