Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
f(x) = { 4 - x^2, x <= 1; x^2 + 2x, x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função dada, identificar onde ela está crescente ou decrescente e também determinar o conjunto imagem dela. A função que estamos lidando é uma função por partes, ou seja, ela tem comportamentos diferentes dependendo do valor de . Vamos usar conceitos de funções quadráticas e análise de intervalos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: para . Essa é uma função quadrática da forma . Sabemos que o termo indica que a parábola está abrindo para baixo. O vértice dessa parábola é o ponto mais alto.
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula do vértice para funções quadráticas: . No nosso caso, e , então . Substituindo na função, . Então, o vértice é em .
Como a parábola abre para baixo, ela está decrescente à direita do vértice e crescente à esquerda. Mas como estamos limitando , vamos considerar esse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar a segunda parte da função: para . Essa também é uma função quadrática, mas dessa vez com , o que significa que a parábola abre para cima.
Para encontrar o vértice dessa parábola: . Substituindo na função, . Então, o vértice é em .
Apesar de a parábola abrir para cima, nosso interesse é no intervalo . Nesse intervalo, a função está sempre crescendo porque, à medida que aumenta, domina o comportamento, fazendo com que aumente.

Passo 4

Agora, vamos juntar as informações para identificar onde a função é crescente ou decrescente:
  • Para : A função é uma parábola que está decrescendo para e crescendo para . Mas como estamos considerando , a parte relevante é . Portanto:
    • Crescente:
    • Decrescente:
  • Para : A função está sempre crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Vamos agora determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de .
  • Para : O valor máximo de ocorre em , e a função diminui à medida que se afasta de 0. Não há um limite inferior nesse intervalo porque à medida que tende a , tende a .
  • Para : Como a função está sempre crescendo e não tem limite superior, o valor mínimo ocorre em . Calculando, . E continua aumentando para .
Então, combinando ambos os intervalos:
  • A função pode assumir todos os valores menores ou iguais a 4 e todos os valores maiores ou iguais a 3. Observando que entre 3 e 4, a função cobre todos os valores.

Resposta

A função é composta por duas partes:
  1. Para :
    • Gráfico: Uma parábola que abre para baixo com vértice em .
    • Crescente: Em .
    • Decrescente: Em .
  2. Para :
    • Gráfico: Uma parábola que abre para cima.
    • Crescente: Em todo o intervalo .
Conjunto imagem:
  • Todos os valores tais que ou .

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