Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências. Isso significa que, para uma série que tem a forma , queremos descobrir para quais valores de essa série realmente “funciona”, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que nos ajudam a encontrar o raio de convergência e, consequentemente, o intervalo completo.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a série de potências que estamos analisando. Suponha que a série seja da forma , onde é o centro da série. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de para os quais a série converge.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Razão, que é bastante útil para séries de potências. Esse teste diz o seguinte:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão à nossa série, temos:
Queremos que para que a série converja. Então:
Passo 5
A partir dessa inequação, podemos resolver para :
O lado direito dessa inequação é o raio de convergência. Então, temos:
Isso nos dá o intervalo de convergência como .
Passo 6
Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores. Isso é importante porque, às vezes, a série pode convergir em um ou ambos os extremos do intervalo.
Passo 7
Para cada ponto final, substituímos na série original e verificamos a convergência usando outro teste de convergência, como o Teste da Série Geométrica ou o Teste da Série Alternada, dependendo da forma da série resultante.
Passo 8
Com isso, teremos o intervalo de convergência completo, que inclui todos os valores de para os quais a série converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série de potências dada é:
Onde é o raio de convergência determinado pelo Teste da Razão, e precisamos verificar a convergência nos pontos finais e para definir se eles pertencem ou não ao intervalo.