Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais e técnicas de resolução. Para resolver, precisaremos manipular a equação para isolar e, possivelmente, encontrar um fator integrante ou identificar se a equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A equação original é:
Vamos mover todos os termos que não contêm para o lado direito:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por para isolar :

Passo 4

Observamos que a equação ainda está complexa. Vamos verificar se ela pode ser simplificada ou se é possível aplicar um fator integrante. Para isso, vamos verificar se a equação é exata.
Uma equação é exata se , onde e são os coeficientes de e , respectivamente.
Reescrevendo a equação na forma :

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 6

Buscamos um fator integrante que dependa somente de ou de . Vamos testar se há um fator que depende apenas de .
Definimos:
onde é obtido a partir da equação:
Calculamos:
Percebe-se que ainda depende de , o que complica a obtenção de . Assim, talvez a abordagem exata não seja a mais adequada.

Passo 7

Dado a complexidade, vamos tentar separar as variáveis. Observando a equação original após isolar :
Podemos tentar fatorar termos semelhantes:
Ainda assim, a separação não é direta. Alternativamente, poderíamos tentar uma substituição.

Passo 8

Vamos tentar a substituição . Calculando . Substituindo na equação original pode simplificar, mas devido à complexidade dos termos trigonométricos, essa abordagem também não simplifica adequadamente a equação.

Passo 9

Diante da dificuldade em aplicar métodos tradicionais, pode ser que a equação necessite de técnicas avançadas ou numéricas para ser resolvida. Contudo, aplicando a condição inicial , podemos simplificar o problema para encontrar uma solução particular.

Passo 10

Considerando e , substituímos na equação original:
O que implica que pode ser determinado a partir desta condição, mas como é uma solução trivial, podemos concluir que é a solução que satisfaz a condição inicial.

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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Calcule .
Mostre que, se então .
Calcule
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.