Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais e técnicas de resolução. Para resolver, precisaremos manipular a equação para isolar
e, possivelmente, encontrar um fator integrante ou identificar se a equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Vamos mover todos os termos que não contêm
para o lado direito:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
:
Passo 4
Observamos que a equação ainda está complexa. Vamos verificar se ela pode ser simplificada ou se é possível aplicar um fator integrante. Para isso, vamos verificar se a equação é exata.
Uma equação é exata se
, onde
e
são os coeficientes de
e
, respectivamente.
Reescrevendo a equação na forma
:
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 6
Buscamos um fator integrante que dependa somente de
ou de
. Vamos testar se há um fator que depende apenas de
.
Definimos:
onde
é obtido a partir da equação:
Calculamos:
Percebe-se que
ainda depende de
, o que complica a obtenção de
. Assim, talvez a abordagem exata não seja a mais adequada.
Passo 7
Dado a complexidade, vamos tentar separar as variáveis. Observando a equação original após isolar
:
Podemos tentar fatorar termos semelhantes:
Ainda assim, a separação não é direta. Alternativamente, poderíamos tentar uma substituição.
Passo 8
Vamos tentar a substituição
. Calculando
. Substituindo na equação original pode simplificar, mas devido à complexidade dos termos trigonométricos, essa abordagem também não simplifica adequadamente a equação.
Passo 9
Diante da dificuldade em aplicar métodos tradicionais, pode ser que a equação necessite de técnicas avançadas ou numéricas para ser resolvida. Contudo, aplicando a condição inicial
, podemos simplificar o problema para encontrar uma solução particular.
Passo 10
Considerando
e
, substituímos na equação original:
O que implica que
pode ser determinado a partir desta condição, mas como
é uma solução trivial, podemos concluir que
é a solução que satisfaz a condição inicial.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Mostre que, se
então
.
Calcule
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.