Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique. f(x, y) = { xy^3 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) | 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar especialmente o ponto , já que a função é definida de forma diferente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os pontos onde . Nesses casos, a função é dada por:
Como o denominador nunca é zero quando , a função é uma razão de polinômios bem definida e, portanto, contínua em todos esses pontos.

Passo 3

Agora, precisamos avaliar a continuidade no ponto . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação para :
  1. Caminho :
  1. Caminho :
  1. Caminho :
Como em todos esses caminhos o limite é 0, parece que o limite geral também é 0.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano , ou seja, em todo .

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