Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função
é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar especialmente o ponto
, já que a função é definida de forma diferente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os pontos onde
. Nesses casos, a função é dada por:
Como o denominador
nunca é zero quando
, a função é uma razão de polinômios bem definida e, portanto, contínua em todos esses pontos.
Passo 3
Agora, precisamos avaliar a continuidade no ponto
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação para
:
- Caminho
:
- Caminho
:
- Caminho
:
Como em todos esses caminhos o limite é 0, parece que o limite geral também é 0.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
, ou seja, em todo
.
Exercícios relacionados
Calcule
(i) Suponha que
. Existe o limite
?
(ii) Suponha que . Mostre que, se a sequência
é limitada, então
.
(ii) Suponha que
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
, definida por
, cujo domínio é
tal que
.