Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver vários limites aqui que envolvem logaritmos e raízes. O conteúdo principal é cálculo de limites usando propriedades de logaritmos e raízes. Para resolver, vamos precisar entender como o logaritmo cresce em relação a funções polinomiais e exponenciais, além de saber manipular as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular .
Aqui, cresce, mas bem mais devagar que . Quando dividimos por , o resultado vai tendendo a zero. Isso porque, conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 3

Agora, vamos para .
A raiz -ésima de pode ser reescrita como . Sabemos que tende a zero quando vai para o infinito. Então, tende a , já que qualquer número elevado a zero é .

Passo 4

Vamos calcular .
Assumindo que é a unidade imaginária, o logaritmo de um número complexo pode ser um pouco mais complicado, mas para grandes valores de , o comportamento é similar ao caso real. O logaritmo de cresce como , então temos:
Isso porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que a fração tende a zero.

Passo 5

Agora, vamos para .
Novamente, assumindo como a unidade imaginária, a raiz -ésima de pode ser escrita como . Similarmente ao caso real, a magnitude dessa expressão tende a , já que e também tende a .

Passo 6

Vamos calcular .
Aqui, a raiz está com expoente imaginário . Podemos reescrever isso usando exponenciais:
Do passo anterior, vimos que , então:
Portanto,

Passo 7

Por último, vamos para .
Usando a mesma lógica do passo anterior, reescrevemos:
Sabemos que , então também. Assim:
Logo,

Resposta

Todas as limites calculadas são iguais a .

Exercícios relacionados

Calcule .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
(i) Suponha que . Existe o limite ?
(ii) Suponha que . Mostre que, se a sequência é limitada, então .