Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver vários limites aqui que envolvem logaritmos e raízes. O conteúdo principal é cálculo de limites usando propriedades de logaritmos e raízes. Para resolver, vamos precisar entender como o logaritmo cresce em relação a funções polinomiais e exponenciais, além de saber manipular as raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
Aqui,
cresce, mas bem mais devagar que
. Quando dividimos
por
, o resultado vai tendendo a zero. Isso porque, conforme
aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 3
Agora, vamos para
.
A raiz
-ésima de
pode ser reescrita como
. Sabemos que
tende a zero quando
vai para o infinito. Então,
tende a
, já que qualquer número elevado a zero é
.
Passo 4
Vamos calcular
.
Assumindo que
é a unidade imaginária, o logaritmo de um número complexo pode ser um pouco mais complicado, mas para grandes valores de
, o comportamento é similar ao caso real. O logaritmo de
cresce como
, então temos:
Isso porque o denominador
cresce sem limite, fazendo com que a fração tende a zero.
Passo 5
Agora, vamos para
.
Novamente, assumindo
como a unidade imaginária, a raiz
-ésima de
pode ser escrita como
. Similarmente ao caso real, a magnitude dessa expressão tende a
, já que
e
também tende a
.
Passo 6
Vamos calcular
.
Aqui, a raiz está com expoente imaginário
. Podemos reescrever isso usando exponenciais:
Do passo anterior, vimos que
, então:
Portanto,
Passo 7
Por último, vamos para
.
Usando a mesma lógica do passo anterior, reescrevemos:
Sabemos que
, então
também. Assim:
Logo,
Resposta
Todas as limites calculadas são iguais a
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
(i) Suponha que
. Existe o limite
?
(ii) Suponha que . Mostre que, se a sequência
é limitada, então
.
(ii) Suponha que