Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
. Aqui, estamos lidando com números complexos e limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar um número complexo a uma potência e como isso se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte
. Para simplificar, vamos transformar o número complexo
para a forma polar, que facilita a elevação a potências. A forma polar de um número complexo
é
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo
de
:
Agora, calculamos o argumento
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar o número complexo à potência
:
Onde
.
Passo 5
Observamos que
, pois
e
. Quando
é elevada a
tendendo ao infinito, ela se aproxima de zero porque a base é menor que 1.
Passo 6
Portanto, o termo
tende a zero quando
. Assim, o limite original simplifica para:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que, se
então
.
Determine o domínio das funções abaixo:
Calcule