Calcule lim n infty[i+(2+3 i5)^n].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos lidando com números complexos e limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar um número complexo a uma potência e como isso se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte . Para simplificar, vamos transformar o número complexo para a forma polar, que facilita a elevação a potências. A forma polar de um número complexo é , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo r = raiz(25)^2 + (35)^2 = raiz425 + 925 = raiz1325 = raiz135 de theta = arctan(3/52/5) = arctan(32) :
Agora, calculamos o argumento :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar o número complexo à potência (2+3i5)^n = (raiz135)^n [cos(ntheta) + i sin(ntheta)] :
Onde .

Passo 5

Observamos que , pois e . Quando é elevada a tendendo ao infinito, ela se aproxima de zero porque a base é menor que 1.

Passo 6

Portanto, o termo lim n infty[i + 0] = i tende a zero quando . Assim, o limite original simplifica para:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados