Mostre que, se então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que, se o valor absoluto de é menor que 1 ( ), então o limite de quando tende ao infinito é igual a zero. Isso está dentro da matéria de Limites de Sequências e vamos precisar entender como funções exponenciais e polinomiais se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Isso quer dizer que está entre e , ou seja, . Quando a gente tem uma base como elevada a uma potência , e essa base está entre e , tende a zero conforme aumenta. Isso é porque números menores que 1, multiplicados por si mesmos muitas vezes, ficam cada vez menores.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com . Aqui, temos dois fatores: , que cresce sem limite quando vai para o infinito, e , que estamos vendo que tende a zero. Precisamos entender qual desses fatores “vence” nessa competição.

Passo 4

Mesmo que cresça, está diminuindo de forma exponencialmente rápida (porque ). A redução de é tão rápida que, mesmo multiplicada por , o produto total ainda tende a zero. Em termos matemáticos, a decaída exponencial de domina o crescimento linear de .

Passo 5

Para formalizar isso, podemos usar o fato de que, para , existe uma constante tal que com . Assim, temos:
Sabemos que tende a zero muito rápido, mais rápido que tende a infinito. Portanto, o produto também tende a zero.

Resposta

Então, concluímos que quando .

Exercícios relacionados

Determine o domínio das funções abaixo:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Calcule .