Mostre que, se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que, se o valor absoluto de
é menor que 1 (
), então o limite de
quando
tende ao infinito é igual a zero. Isso está dentro da matéria de Limites de Sequências e vamos precisar entender como funções exponenciais e polinomiais se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa
. Isso quer dizer que
está entre
e
, ou seja,
. Quando a gente tem uma base como
elevada a uma potência
, e essa base está entre
e
,
tende a zero conforme
aumenta. Isso é porque números menores que 1, multiplicados por si mesmos muitas vezes, ficam cada vez menores.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com
. Aqui, temos dois fatores:
, que cresce sem limite quando
vai para o infinito, e
, que estamos vendo que tende a zero. Precisamos entender qual desses fatores “vence” nessa competição.
Passo 4
Mesmo que
cresça,
está diminuindo de forma exponencialmente rápida (porque
). A redução de
é tão rápida que, mesmo multiplicada por
, o produto total ainda tende a zero. Em termos matemáticos, a decaída exponencial de
domina o crescimento linear de
.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos usar o fato de que, para
, existe uma constante
tal que
com
. Assim, temos:
Sabemos que
tende a zero muito rápido, mais rápido que
tende a infinito. Portanto, o produto
também tende a zero.
Resposta
Então, concluímos que
quando
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das funções abaixo:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Calcule
.