(a) (1,2,3),(1,0,1),(2,1,0) in R^3.
(b) x^3+2 x^2+3 x+1 ; x^3 ; x^2+3 x ; x^2+1 in P4.
© (1,3,5,7),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1) in R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que tem três partes: (a), (b) e ©. Cada uma delas nos dá um conjunto de vetores ou polinômios e diz em qual espaço eles estão. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente ou gerar esse espaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Parte (a): Temos os vetores , e que pertencem a . Queremos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A = 1 & 1 & 2 2 & 0 & 1 3 & 1 & 0
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 3) + 2 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 3) = 1(-1) - 1(-3) + 2(2) = -1 + 3 + 4 = 6 :
Como , os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Parte (b): Temos os polinômios , , e que pertencem ao espaço . Vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

O espaço B = 1 & 2 & 3 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 1 é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Para verificar a independência, vamos montar uma matriz onde cada linha representa os coeficientes dos polinômios:
det(B) = 1 cdot 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 0 & 1 - 2 cdot 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 1 + 3 cdot 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 - 1 cdot 1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 1 & 0
Vamos calcular o determinante de det(B) = 1 cdot (0) - 2 cdot (1 cdot 3 cdot 1) + 3 cdot (1 cdot 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) = 0 - 6 + 3 - 0 = -3 :
Calculando cada determinante menor:
Como , os polinômios são linearmente independentes.

Passo 6

Parte ©: Temos os vetores , , e que pertencem a . Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante:
C = 1 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 1 & 0 5 & 1 & 0 & 1 7 & 0 & 1 & 1
Calculando o determinante de det(C) = 1 cdot 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 - 1 cdot 3 & 1 & 0 5 & 0 & 1 7 & 1 & 1 + 0 cdot dots - 0 cdot dots :
det(C) = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (3 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1)) = 1(-1) - 1(-3) = -1 + 3 = 2
Calculando os determinantes menores:
Como , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Em todas as partes (a), (b) e ©, os conjuntos apresentados são linearmente independentes.

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