Determinar o valor de para que os Sistemas Lineares abaixo:
Tenham:
Solução única.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (x, y, z). O conteúdo principal aqui é Sistemas Lineares. Para resolver esse tipo de problema, precisamos verificar se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Isso geralmente envolve o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes. Vamos precisar entender como montar essa matriz e calcular seu determinante.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de equações:
x + a z = 0 y = 0 a x + z = 0
Aqui, temos três equações com três incógnitas (x, y, z). Nosso objetivo é encontrar o valor de a que faz com que esse sistema tenha uma solução única.
Passo 3
Para verificar se o sistema tem uma solução única, precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é formada pelos coeficientes das incógnitas nas equações:
A = 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 a & 0 & 1
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante (det(A)) de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 0 cdot a + a cdot 0 cdot a - a cdot 1 cdot a - 0 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1
Simplificando os termos:
det(A) = 1 + 0 + 0 - a^2 - 0 - 0 = 1 - a^2
Passo 5
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero:
1 - a^2 neq 0
Resolvendo essa inequação para a:
1 neq a^2 a^2 neq 1 a neq pm 1
Passo 6
Então, para que o sistema tenha uma solução única, o valor de a não pode ser igual a 1 nem a -1.
Resposta
O sistema possui uma solução única para todo valor de a diferente de 1 e -1.