Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Então, a gente tem uma questão de Álgebra Linear onde precisamos verificar se um conjunto
é um subespaço vetorial de
. O conjunto dado é
. Para resolver isso, vamos descobrir se
satisfaz as três propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Então,
. Essa primeira condição está ok!
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechada sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
:
onde
e
.
A soma desses vetores é:
Para que
, precisamos que:
Mas sabemos que:
Então, a menos que
(o que não é verdade para todos os
e
), essa igualdade não se mantém. Ou seja, a soma de dois vetores de
nem sempre pertence a
.
Passo 4
Finalmente, vamos ver se
é fechada sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar qualquer vetor em
e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor
, ou seja,
, e multiplicar por um escalar
:
Para que
, precisamos que:
Isso implica que:
Isso só é verdade se
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se mantém, então
não é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não é fechada nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.