Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2: W=(x, y) ; x^2=y

Passo 1

Então, a gente tem uma questão de Álgebra Linear onde precisamos verificar se um conjunto W é um subespaço vetorial de R^2. O conjunto dado é W = (x, y) ; x^2 = y. Para resolver isso, vamos descobrir se W satisfaz as três propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se W contém o vetor zero. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Vamos ver se ele pertence a W:
x^2 = y Rightarrow 0^2 = 0 Rightarrow 0 = 0
Então, (0, 0) in W. Essa primeira condição está ok!

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechada sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em W e somarmos, o resultado também deve estar em W.
Vamos considerar dois vetores em W:
u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde y1 = x1^2 e y2 = x2^2.
A soma desses vetores é:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, x1^2 + x2^2)
Para que u + v in W, precisamos que:
(x1 + x2)^2 = x1^2 + x2^2
Mas sabemos que:
(x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2
Então, a menos que 2x1x2 = 0 (o que não é verdade para todos os x1 e x2), essa igualdade não se mantém. Ou seja, a soma de dois vetores de W nem sempre pertence a W.

Passo 4

Finalmente, vamos ver se W é fechada sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar qualquer vetor em W e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W.
Vamos pegar um vetor u = (x, y) in W, ou seja, y = x^2, e multiplicar por um escalar c:
cu = (c x, c y) = (c x, c x^2)
Para que cu in W, precisamos que:
(c x)^2 = c x^2
Isso implica que:
c^2 x^2 = c x^2 Rightarrow c^2 = c
Isso só é verdade se c = 0 ou c = 1. Para outros valores de c, a igualdade não se mantém, então W não é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W não é fechada nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, concluímos que W não é um subespaço vetorial de R^2.

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