[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral
da EDO
, com
, satisfaz, com
;
(I) [ ] A solução geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma afirmação sobre a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) está certa ou errada. Especificamente, a EDO é
para
, e a afirmação é que a solução geral
satisfaz
, onde
é uma constante real.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a EDO
. Essa é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o método do fator integrante.
O fator integrante
é calculado por:
Multiplicamos toda a EDO por esse fator:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes repetidamente, o que nos leva a:
Simplificando, a solução geral fica:
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição
. Substituindo
na solução geral:
De acordo com a afirmação, deveríamos ter:
Mas isso implica que
, o que não é verdade.
Resposta
Falso.