[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral y(x) da EDO y' + y = 3 x^2, com x > 0, satisfaz, com C in R, y(0) = 2 + C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma afirmação sobre a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) está certa ou errada. Especificamente, a EDO é para , e a afirmação é que a solução geral satisfaz , onde é uma constante real.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a EDO . Essa é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o método do fator integrante.
O fator integrante é calculado por:
Multiplicamos toda a EDO por esse fator:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes repetidamente, o que nos leva a:
Simplificando, a solução geral fica:

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição . Substituindo na solução geral:
De acordo com a afirmação, deveríamos ter:
Mas isso implica que , o que não é verdade.

Resposta

Falso.

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