Calcule a integral tripla
onde
é a região cilíndrica
.
i Escreva a integral na ordem
e encontre o resultado da integral com relação a
.
ii Use coordenadas polares para calcular a integral sobre
. (Dica: lembre que a derivada do cosseno é menos seno).
i Escreva a integral na ordem
ii Use coordenadas polares para calcular a integral sobre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A gente precisa calcular a integral
onde
é a região cilíndrica definida por
e
. Vamos usar conceitos de integração em coordenadas cartesianas e polares para resolver isso. Primeiro, vamos organizar a integral na ordem
e integrar em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral na ordem
. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois sobre a área
no plano
. A região
é um cilindro com raio 2 e altura de
a
.
Então, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte interna da integral, que é a integral em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
- Integração de
:
- Integração de
:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integração em
de volta na integral dupla:
Para calcular essa integral sobre a área
no plano
, é mais fácil usar coordenadas polares, já que a região é um círculo.
Passo 5
Vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que:
Nossa região
é um círculo de raio 2, então
vai de 0 a 2 e
de 0 a
.
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Calculando a integral em
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em
:
Fazendo uma substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Porque os limites de integração são iguais!
Passo 8
Como a integral em
resultou em zero, todo o cálculo final será:
Resposta
A integral tripla dada é igual a 0.
Exercícios relacionados
Utilizando a definição de derivada:
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
©
©
Calcule a integral iterada
(Dica:
).
Estime a umidade relativa se a temperatura do ar for de
e a depressão do bulbo molhado for
.
[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral da EDO
, com
, satisfaz, com
;
(I) [ ] A solução geral