Calcule a integral tripla
integral triplaD(4 z+5 x^2 y z^2) d V
onde D é a região cilíndrica x^2+y^2 <= 4,-2 <= z <= 2.
i Escreva a integral na ordem d z d A e encontre o resultado da integral com relação a z.
ii Use coordenadas polares para calcular a integral sobre d A=d x d y. (Dica: lembre que a derivada do cosseno é menos seno).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A gente precisa calcular a integral
integral triplaD(4 z + 5 x^2 y z^2) dV
onde é a região cilíndrica definida por e . Vamos usar conceitos de integração em coordenadas cartesianas e polares para resolver isso. Primeiro, vamos organizar a integral na ordem e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral na ordem integralA ( integral-2^2 (4 z + 5 x^2 y z^2) dz ) dA . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois sobre a área no plano . A região é um cilindro com raio 2 e altura de a .
Então, a integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte interna da integral, que é a integral em relação a integral-2^2 (4 z + 5 x^2 y z^2) dz :
integral-2^2 4z , dz = 4 cdot [z^22]-2^2 = 4 cdot (42 - 42) = 4 cdot (2 - 2) = 0
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integração de integral-2^2 5 x^2 y z^2 , dz = 5 x^2 y cdot [z^33]-2^2 = 5 x^2 y cdot (83 - -83) = 5 x^2 y cdot 163 = 803 x^2 y :
0 + 803 x^2 y = 803 x^2 y
  1. Integração de :
Então, a integral interna resulta em:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integração em integralA 803 x^2 y , dA de volta na integral dupla:
Para calcular essa integral sobre a área no plano , é mais fácil usar coordenadas polares, já que a região é um círculo.

Passo 5

Vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta dA = r , dr , dtheta
Nossa região integral0^2pi integral0^2 803 (r cos theta)^2 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta é um círculo de raio 2, então 803 integral0^2pi integral0^2 r^2 cos^2 theta cdot r sin theta cdot r , dr , dtheta = 803 integral0^2pi integral0^2 r^4 cos^2 theta sin theta , dr , dtheta vai de 0 a 2 e de 0 a .
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a 803 integral0^2pi ( integral0^2 r^4 , dr ) cos^2 theta sin theta , dtheta :
integral0^2 r^4 , dr = [r^55]0^2 = 325
Calculando a integral em 803 cdot 325 integral0^2pi cos^2 theta sin theta , dtheta = 2563 integral0^2pi cos^2 theta sin theta , dtheta :
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em integral0^2pi cos^2 theta sin theta , dtheta :
-integral1^1 u^2 , du = 0
Fazendo uma substituição , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:
Porque os limites de integração são iguais!

Passo 8

Como a integral em 2563 cdot 0 = 0 resultou em zero, todo o cálculo final será:

Resposta

A integral tripla dada é igual a 0.

Exercícios relacionados