Calcule a integral tripla
onde é a região cilíndrica .
i Escreva a integral na ordem e encontre o resultado da integral com relação a .
ii Use coordenadas polares para calcular a integral sobre . (Dica: lembre que a derivada do cosseno é menos seno).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A gente precisa calcular a integral
onde é a região cilíndrica definida por e . Vamos usar conceitos de integração em coordenadas cartesianas e polares para resolver isso. Primeiro, vamos organizar a integral na ordem e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral na ordem . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois sobre a área no plano . A região é um cilindro com raio 2 e altura de a .
Então, a integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte interna da integral, que é a integral em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integração de :
  1. Integração de :
Então, a integral interna resulta em:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integração em de volta na integral dupla:
Para calcular essa integral sobre a área no plano , é mais fácil usar coordenadas polares, já que a região é um círculo.

Passo 5

Vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que:
Nossa região é um círculo de raio 2, então vai de 0 a 2 e de 0 a .
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :
Calculando a integral em :
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em :
Fazendo uma substituição , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:
Porque os limites de integração são iguais!

Passo 8

Como a integral em resultou em zero, todo o cálculo final será:

Resposta

A integral tripla dada é igual a 0.

Exercícios relacionados

Utilizando a definição de derivada:
calcule a expressão de dos casos a seguir:
©
Calcule a integral iterada
(Dica: ).
Estime a umidade relativa se a temperatura do ar for de e a depressão do bulbo molhado for .
[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral da EDO , com , satisfaz, com ;