[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral y(x) da EDO y' + y = 3 x^2, com x > 0, satisfaz, com C in R, y(1)=(3e+C)/e;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a afirmação sobre a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) é verdadeira ou falsa. A matéria aqui envolve resolver EDOs de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral dessa EDO e depois verificar se, para , a condição dada é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a EDO . Essa é uma EDO linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método integrante.
A forma geral de uma EDO linear é . Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por .
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante:
Isso transforma a EDO em:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes duas vezes.

Passo 6

Aplicando a integração por partes, chegamos a:
Portanto,

Passo 7

Dividindo tudo por para isolar :
Essa é a solução geral da EDO.

Passo 8

Agora, vamos verificar se .
Substituindo na solução geral:
Comparando com a expressão dada:

Resposta

Verdadeiro.

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