[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral
da EDO
, com
, satisfaz, com
;
(I) [ ] A solução geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a afirmação sobre a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
é verdadeira ou falsa. A matéria aqui envolve resolver EDOs de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral dessa EDO e depois verificar se, para
, a condição dada
é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a EDO
. Essa é uma EDO linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método integrante.
A forma geral de uma EDO linear é
. Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
.
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante:
Isso transforma a EDO em:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes duas vezes.
Passo 6
Aplicando a integração por partes, chegamos a:
Portanto,
Passo 7
Dividindo tudo por
para isolar
:
Essa é a solução geral da EDO.
Passo 8
Agora, vamos verificar se
.
Substituindo
na solução geral:
Comparando com a expressão dada:
Resposta
Verdadeiro.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
(g) , onde
;
(g)
Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.
,
Calcule os limites abaixo.
(g) .
(g)
Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exercício, são limites dos tipos já estudados todos misturados.
(i) .
(i)