Calcule os limites abaixo.
(g) lim x 2 3^2 x-45-1sen[4(x-2)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando lim x 2 3^2x-45 - 1sin[4(x-2)] se aproxima de 2 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como expandir essas funções quando está muito perto de um ponto específico, usando séries de Taylor ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
3^2x-45 - 1
Perceba que quando 2(2) - 45 = 4 - 45 = 0 se aproxima de 2, o expoente se aproxima de 0, porque:
E sabemos que , então o numerador se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador:
sin[4(x-2)]
Quando se aproxima de 2, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0. E sabemos que se aproxima de quando é muito pequeno.

Passo 4

Dado que tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0, temos uma indeterminação do tipo . Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Vamos derivar o numerador:
ddx ( 3^2x-45 - 1 ) = 3^2x-45 cdot ln(3) cdot 25
E a derivada do denominador:
ddx ( sin[4(x-2)] ) = cos[4(x-2)] cdot 4

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital, nosso limite se transforma em:
lim x 2 3^2x-45 cdot ln(3) cdot 25cos[4(x-2)] cdot 4
Agora, substituímos 3^0 = 1 e cos[0] = 1 na expressão:

Passo 7

Substituindo os valores:
1 cdot ln(3) cdot 251 cdot 4 = 2 ln(3)20 = ln(3)10

Resposta

O limite é .

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