Calcule os limites abaixo.
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como expandir essas funções quando está muito perto de um ponto específico, usando séries de Taylor ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
Perceba que quando se aproxima de 2, o expoente se aproxima de 0, porque:
E sabemos que , então o numerador se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador:
Quando se aproxima de 2, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0. E sabemos que se aproxima de quando é muito pequeno.

Passo 4

Dado que tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0, temos uma indeterminação do tipo . Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Vamos derivar o numerador:
E a derivada do denominador:

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital, nosso limite se transforma em:
Agora, substituímos na expressão:

Passo 7

Substituindo os valores:

Resposta

O limite é .

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[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral da EDO , com , satisfaz, com ;
Calcule os limites a seguir:
(g) , onde ;
Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exercício, são limites dos tipos já estudados todos misturados.
(i) .
[32 pontos] Assinale V ou F:
(IV) [ ]A curva é solução da edo .