Calcule os limites abaixo.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como expandir essas funções quando
está muito perto de um ponto específico, usando séries de Taylor ou a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
Perceba que quando
se aproxima de 2, o expoente
se aproxima de 0, porque:
E sabemos que
, então o numerador se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador:
Quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0, então
também se aproxima de 0. E sabemos que
se aproxima de
quando
é muito pequeno.
Passo 4
Dado que tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0, temos uma indeterminação do tipo
. Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Vamos derivar o numerador:
E a derivada do denominador:
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital, nosso limite se transforma em:
Agora, substituímos
na expressão:
Passo 7
Substituindo os valores:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
[32 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral da EDO
, com
, satisfaz, com
;
(I) [ ] A solução geral
Calcule os limites a seguir:
(g) , onde
;
(g)
Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exercício, são limites dos tipos já estudados todos misturados.
(i) .
(i)
[32 pontos] Assinale V ou F:
(IV) [ ]A curva é solução da edo
.
(IV) [ ]A curva