Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exercício, são limites dos tipos já estudados todos misturados.
(i) lim x 4 log 2 x-2x-4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 4. Aqui, estamos trabalhando com limites que resultam em uma forma indeterminada do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece substituindo log2 4 = 2 então log2 x - 2 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão:
x - 4 = 4 - 4 = 0 ã
E no denominador:
Isso nos dá , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, precisamos de uma técnica adequada.

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver limites que resultam em limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) é usando a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se ou , então:
desde que esse limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador ddx log2 x = 1x ln 2 :
ddx (x - 4) = 1
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos as derivadas na Regra de L’Hospital:
limx to 4 log2 x - 2x - 4 = limx to 4 1x ln 21 = limx to 4 1x ln 2

Passo 6

Finalmente, substituímos 14 ln 2 na expressão obtida:

Resposta

O limite é igual a limx 4 log2 x - 2x - 4 = 14 ln 2 .

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