[32 pontos] Assinale V ou F:
(IV) [ ]A curva tan(y) = (1 - e^x)^3 é solução da edo 3 e^x tan(y) dx + (1 - e^x) sec^2(y) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
E também uma curva proposta:
O objetivo é verificar se essa curva é realmente uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar saber como substituir a curva na EDO e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para a curva ser solução da EDO, ela precisa satisfazer a equação para todos os valores de e que pertencem à curva. Ou seja, se a gente derivar a curva e substituir na EDO, deve dar certo.

Passo 3

Vamos começar derivando a curva em relação a . A curva é:
Para derivar, usamos a regra da cadeia. Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, isolamos :
Porque .

Passo 5

Vamos substituir na equação acima. Sabemos que:
Mas na EDO, já temos , então vamos manter a expressão original.

Passo 6

Agora, substituindo na EDO:
Substituindo:

Passo 7

Simplificando a segunda parte:
Então a equação fica:

Passo 8

Veja que os termos se cancelam:
Isso confirma que a curva satisfaz a EDO para todos os e da curva.

Resposta

Verdadeiro.

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