Se , use a definição para calcular . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa calcular a derivada dela usando a definição de derivada. Depois, vamos usar essa derivada para encontrar a equação da reta tangente no ponto . Vamos precisar lembrar da definição de derivada e de como montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação de quando o incremento tende a zero. Matematicamente, isso é escrito como:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função . Primeiro, vamos calcular :
Em seguida, vamos montar a expressão da derivada:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, precisamos unir as frações no numerador. Vamos fazer isso:
Agora, vamos expandir os numeradores:
Subtraindo essas expressões:
Então, a expressão simplificada fica:
Agora, dividimos por :

Passo 5

Agora, como tende a zero, podemos substituir na expressão:
Então, a derivada da função é:

Passo 6

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Vamos substituir na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, a equação da reta tangente é:

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d)
Seja e para . Mostre que: .