Se
, use a definição para calcular
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa calcular a derivada dela usando a definição de derivada. Depois, vamos usar essa derivada para encontrar a equação da reta tangente no ponto
. Vamos precisar lembrar da definição de derivada e de como montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação de
quando o incremento
tende a zero. Matematicamente, isso é escrito como:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função
. Primeiro, vamos calcular
:
Em seguida, vamos montar a expressão da derivada:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, precisamos unir as frações no numerador. Vamos fazer isso:
Agora, vamos expandir os numeradores:
Subtraindo essas expressões:
Então, a expressão simplificada fica:
Agora, dividimos por
:
Passo 5
Agora, como
tende a zero, podemos substituir
na expressão:
Então, a derivada da função é:
Passo 6
Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Vamos substituir
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto, a equação da reta tangente é:
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.
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d)
d)
Seja
e
para
. Mostre que:
.