Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos escrever a funçãocomo uma série de potências usando a série binomial e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema da Série Binomial, que nos ajuda a expandir expressões do tipo em séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que se encaixe na forma do Teorema da Série Binomial. Observamos que:
Aqui, identificamos que e o expoente .
Passo 3
O Teorema da Série Binomial nos diz que:
Onde:
Isso significa que podemos expandir como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .
Passo 4
Agora, substituímos e na série binomial:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos da série para entender melhor:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.
Passo 6
Com os termos calculados, a série de potências fica:
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência da série, usamos o Critério da Razão. Analisamos o limite:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1: