Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
d)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos escrever a função como uma série de potências usando a série binomial e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema da Série Binomial, que nos ajuda a expandir expressões do tipo em séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que se encaixe na forma do Teorema da Série Binomial. Observamos que:
Aqui, identificamos que e o expoente .

Passo 3

O Teorema da Série Binomial nos diz que:
Onde:
Isso significa que podemos expandir como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 4

Agora, substituímos e na série binomial:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos da série para entender melhor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 6

Com os termos calculados, a série de potências fica:

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência da série, usamos o Critério da Razão. Analisamos o limite:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de potências de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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