Determine a velocidade, a aceçeração e a velocidade escalar de uma partícula com vetor posição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por
. Vamos usar os conceitos de cálculo diferencial para encontrar as derivadas necessárias e entender como a posição muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição em relação a
. Matemáticamente,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente de
:
-
Derivada de
: Usamos a regra do poder. A derivada de é . Então, . -
Derivada de
: A derivada de é . -
Derivada de
: Aqui usamos a regra do produto. Se temos duas funções multiplicando, e , então a derivada é . -
→ -
→
Então,.
-
Portanto, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, é a derivada da velocidade,
.
Passo 5
Calculando a derivada de cada componente de
:
-
Derivada de
: . -
Derivada de
: . -
Derivada de
: Usamos novamente a regra do produto. -
→ -
→
Então,.
-
Portanto, a aceleração é:
Passo 6
Por último, vamos determinar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade. Para isso, usamos a fórmula da norma de um vetor:
Onde
,
e
são as componentes da velocidade.
Passo 7
Substituindo as componentes de
:
Vamos calcular passo a passo:
Então:
Resposta
Portanto, as soluções são:
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Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
f)
f)
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Determinar os pontos críticos das funções dadas. Valor( 2,0 pontos
Se
, use a definição para calcular
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de coordenadas
.