Determine a velocidade, a aceçeração e a velocidade escalar de uma partícula com vetor posição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por . Vamos usar os conceitos de cálculo diferencial para encontrar as derivadas necessárias e entender como a posição muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição em relação a . Matemáticamente, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente de :
  1. Derivada de : Usamos a regra do poder. A derivada de é . Então, .
  2. Derivada de : A derivada de é .
  3. Derivada de : Aqui usamos a regra do produto. Se temos duas funções multiplicando, e , então a derivada é .

    • Então, .
Portanto, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, é a derivada da velocidade, .

Passo 5

Calculando a derivada de cada componente de :
  1. Derivada de : .
  2. Derivada de : .
  3. Derivada de : Usamos novamente a regra do produto.

    • Então, .
Portanto, a aceleração é:

Passo 6

Por último, vamos determinar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade. Para isso, usamos a fórmula da norma de um vetor:
Onde , e são as componentes da velocidade.

Passo 7

Substituindo as componentes de :
Vamos calcular passo a passo:
Então:

Resposta

Portanto, as soluções são:

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