Seja
e
para
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por
, onde
. O que a gente precisa provar é que, quando
cresce cada vez mais, a diferença
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de sequências.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o comportamento da sequência
quando
tende ao infinito. Como
, vamos supor que a sequência converge para algum limite
. Assim, tomando o limite dos dois lados da igualdade:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Para encontrar
, precisamos isolar
:
Essa equação não tem solução analítica simples, mas analisando graficamente ou usando métodos numéricos, percebemos que a única solução real é
. Portanto, a sequência
converge para zero.
Passo 4
Como
tende a zero, podemos usar a aproximação de Taylor para
quando
é pequeno:
Para valores muito pequenos de
, essa aproximação fica:
Passo 5
Vamos reescrever a diferença
usando a aproximação que encontramos:
Simplificando o denominador da primeira fração:
Passo 6
Usando a expansão da série geométrica
para
pequeno, temos:
Substituindo isso na expressão anterior:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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d)
d)
Se
, use a definição para calcular
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de coordenadas
.
Seja
e
para
. Mostre que:
diverge.
Escreva equações da reta tangente à curva do
parametrizada por
no ponto
.