Seja e para . Mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por , onde . O que a gente precisa provar é que, quando cresce cada vez mais, a diferença se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de sequências.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento da sequência quando tende ao infinito. Como , vamos supor que a sequência converge para algum limite . Assim, tomando o limite dos dois lados da igualdade:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Para encontrar , precisamos isolar :
Essa equação não tem solução analítica simples, mas analisando graficamente ou usando métodos numéricos, percebemos que a única solução real é . Portanto, a sequência converge para zero.

Passo 4

Como tende a zero, podemos usar a aproximação de Taylor para quando é pequeno:
Para valores muito pequenos de , essa aproximação fica:

Passo 5

Vamos reescrever a diferença usando a aproximação que encontramos:
Simplificando o denominador da primeira fração:

Passo 6

Usando a expansão da série geométrica para pequeno, temos:
Substituindo isso na expressão anterior:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
d)
Se , use a definição para calcular . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de coordenadas .
Seja e para . Mostre que: diverge.
Escreva equações da reta tangente à curva do parametrizada por no ponto .