Seja x1>0 e xn+1=ln (1+xn) para n >= 1. Mostre que: lim n infty(1xn+1-1xn)=12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por , onde . O que a gente precisa provar é que, quando cresce cada vez mais, a diferença se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de sequências.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento da sequência L = ln(1 + L) quando tende ao infinito. Como , vamos supor que a sequência converge para algum limite . Assim, tomando o limite dos dois lados da igualdade:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação e^L = 1 + L . Para encontrar , precisamos isolar :
Essa equação não tem solução analítica simples, mas analisando graficamente ou usando métodos numéricos, percebemos que a única solução real é . Portanto, a sequência converge para zero.

Passo 4

Como ln(1 + x) approx x - x^22 + x^33 - dots tende a zero, podemos usar a aproximação de Taylor para xn+1 approx xn - xn^22 quando é pequeno:
Para valores muito pequenos de , essa aproximação fica:

Passo 5

Vamos reescrever a diferença 1xn+1 - 1xn approx 1xn - xn^22 - 1xn usando a aproximação que encontramos:
1xn (1 - xn2) - 1xn = 1xn ( 11 - xn2 - 1 )
Simplificando o denominador da primeira fração:

Passo 6

Usando a expansão da série geométrica 11 - xn2 approx 1 + xn2 para 1xn (1 + xn2 - 1) = 1xn cdot xn2 = 12 pequeno, temos:
Substituindo isso na expressão anterior:

Resposta

Portanto, mostramos que:
limn to infty ( 1xn+1 - 1xn ) = 12

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