1. y' + 4 x y = x^3 e^(x^2), y(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial na forma padrão . Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é calculado usando a fórmula:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição:
Reescrevendo a integral:

Passo 7

Para resolver , usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :
Voltando para :

Passo 8

Agora, substituímos a integral resolvida de volta na equação:
Fatorando :

Passo 9

Isolando dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Por fim, usamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas: integral1^c ln xx dx
  1. Express the solution of the initial-value problem y' - 2 x y = 1, y(1) = 1, in terms of erf(x).
Se pi6=arctg(1raiz3), use a série de Maclaurin da função arctg x para mostrar que sum0^infty (-1 / 3)^nraiz3(2 n+1)=pi6.
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: lim x 0 tg(2 x)sen(3 x)