Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial na forma padrão
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Ele é calculado usando a fórmula:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição:
Reescrevendo a integral:
Passo 7
Para resolver
, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula
:
Voltando para
:
Passo 8
Agora, substituímos a integral resolvida de volta na equação:
Fatorando
:
Passo 9
Isolando
dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Por fim, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas:
- Express the solution of the initial-value problem
, in terms of .
Se
, use a série de Maclaurin da função
para mostrar que
.
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: