Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: lim x 0 tg(2 x)sen(3 x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 tg(2 x)sen(3 x). Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades dos limites para funções trigonométricas quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para x próximo de zero, podemos aproximar tg(x) e sen(x) pelas suas expansões lineares:
tg(x) approx x e sen(x) approx x
Essas aproximações são válidas porque, quando x é muito pequeno, as funções trigonométricas se comportam quase como funções lineares.

Passo 3

Aplicando essas aproximações ao nosso limite, temos:
tg(2x) approx 2x e sen(3x) approx 3x
Substituindo na expressão do limite:
tg(2x)sen(3x) approx 2x3x

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
2x3x = 23 (pois $x neq 0$)
Isso mostra que, quando x se aproxima de zero, a expressão tg(2x)sen(3x) se aproxima de 23.

Resposta

O limite é 23.

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