Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades dos limites para funções trigonométricas quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para
próximo de zero, podemos aproximar
e
pelas suas expansões lineares:
Essas aproximações são válidas porque, quando
é muito pequeno, as funções trigonométricas se comportam quase como funções lineares.
Passo 3
Aplicando essas aproximações ao nosso limite, temos:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 4
Agora, simplificamos a fração:
Isso mostra que, quando
se aproxima de zero, a expressão
se aproxima de
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Se
, use a série de Maclaurin da função
para mostrar que
.
Inverter a ordem de integração.
.
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: