Calcule as integrais definidas: integral1^c ln xx dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui o conteúdo é do cálculo, mais especificamente de integrais definidas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como encontrar a antiderivada da função e depois aplicar o teorema fundamental do cálculo para calcular o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. É basicamente a área sob a curva da função entre dois pontos, nesse caso, de até . Para calcular essa área, precisamos encontrar a antiderivada da função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral ln xx , dx = 12 (ln x)^2 + C . Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, para achar a antiderivada de , a gente divide por 2:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair os valores:
integral1^c ln xx , dx = [ 12 (ln x)^2 ]1^c = 12 (ln c)^2 - 12 (ln 1)^2

Passo 5

Sabemos que 12 (ln c)^2 - 0 = 12 (ln c)^2 , então a segunda parte da expressão é zero. Restando apenas:

Resposta

A integral definida vale .

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