Se
, use a série de Maclaurin da função
para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que
. Queremos usar a série de Maclaurin da função
para mostrar que a soma infinita
é igual a
. Vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicá-la nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Para a função
, a série de Maclaurin é:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, queremos usar essa série para um valor específico de
. Pelo enunciado, sabemos que
. Vamos substituir
na série de Maclaurin:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Primeiro, calculemos
:
Substituindo de volta na série:
Passo 5
Sabemos que
. Então, podemos igualar as duas expressões:
Isso mostra que a soma infinita
realmente é igual a
.
Resposta
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Calcule as integrais definidas:
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Inverter a ordem de integração.
.