Se pi6=arctg(1raiz3), use a série de Maclaurin da função arctg x para mostrar que sum0^infty (-1 / 3)^nraiz3(2 n+1)=pi6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que . Queremos usar a série de Maclaurin da função para mostrar que a soma infinita é igual a . Vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicá-la nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Para a função arctg x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 , a série de Maclaurin é:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, queremos usar essa série para um valor específico de arctg(1raiz3) = sumn=0^infty (-1)^n (1raiz3)^2n+12n+1 . Pelo enunciado, sabemos que . Vamos substituir na série de Maclaurin:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma. Primeiro, calculemos (1raiz3)^2n+1 = 13^n + 12 = 1raiz3 cdot 3^n = 1raiz3 (13)^n :
arctg(1raiz3) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 1raiz3 (13)^n2n+1 = 1raiz3 sumn=0^infty (-1/3)^n2n+1
Substituindo de volta na série:

Passo 5

Sabemos que pi6 = 1raiz3 sumn=0^infty (-1/3)^n2n+1 . Então, podemos igualar as duas expressões:
Isso mostra que a soma infinita realmente é igual a .

Resposta

sumn=0^infty (-1/3)^nraiz3(2n+1) = pi6

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