- Express the solution of the initial-value problem
, in terms of
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Além disso, é dado um valor inicial
. O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e conhecer um pouco sobre a função erro (
).
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Temos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
). A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral de
não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas está relacionada à função erro (
):
Então, substituindo na equação:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
Calcule as integrais definidas: