1. Express the solution of the initial-value problem y' - 2 x y = 1, y(1) = 1, in terms of erf(x).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Além disso, é dado um valor inicial . O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e conhecer um pouco sobre a função erro ( ).

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Temos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ). A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral de não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas está relacionada à função erro ( ):
Então, substituindo na equação:

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 9

Substituímos na expressão de :

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
  1. x(x+1) dy/dx + x*y = 1, y(e) = 1
Calcule as integrais definidas: integral1^c ln xx dx
  1. y' + 4 x y = x^3 e^(x^2), y(0) = -1