Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (E.D.O.) usando o método da variação dos parâmetros. Vamos precisar entender esse método e como aplicá-lo para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve essa parte pra achar a solução geral da homogênea.

Passo 3

Para resolver , assumimos uma solução do tipo , onde é uma constante. Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, temos , ou seja, .

Passo 4

As soluções para são números imaginários, então a solução geral da homogênea é:
Aqui, e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa . Esse método envolve assumir que as constantes e são na verdade funções de , ou seja, e .

Passo 6

A próxima etapa é encontrar as derivadas de assumindo . Calculamos as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 7

Substituímos e na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 8

Simplificando os termos, observamos que muitos se cancelam:

Passo 9

Para facilitar, assumimos que , ou seja, consideramos que e são constantes. Isso leva a um sistema de equações:

Passo 10

Resolvemos esse sistema para e . A partir daí, integramos para encontrar e , e, por fim, substituímos na expressão de .

Passo 11

Após encontrar e , juntamos a solução particular com a solução homogênea para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes e é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.

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