Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (E.D.O.)
usando o método da variação dos parâmetros. Vamos precisar entender esse método e como aplicá-lo para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve essa parte pra achar a solução geral da homogênea.
Passo 3
Para resolver
, assumimos uma solução do tipo
, onde
é uma constante. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, temos
, ou seja,
.
Passo 4
As soluções para
são números imaginários, então a solução geral da homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa
. Esse método envolve assumir que as constantes
e
são na verdade funções de
, ou seja,
e
.
Passo 6
A próxima etapa é encontrar as derivadas de
assumindo
. Calculamos as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
e
na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 8
Simplificando os termos, observamos que muitos se cancelam:
Passo 9
Para facilitar, assumimos que
, ou seja, consideramos que
e
são constantes. Isso leva a um sistema de equações:
Passo 10
Resolvemos esse sistema para
e
. A partir daí, integramos para encontrar
e
, e, por fim, substituímos na expressão de
.
Passo 11
Após encontrar
e
, juntamos a solução particular
com a solução homogênea
para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes e
é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.
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