(Ex.34.73) Você está dirigindo seu carro em uma auto-estrada a 25 m / s quando olha no espelho do lado do passageiro (um espelho convexo com raio de curvatura de 150 cm ) e nota um caminhão se aproximando. Se a imagem do caminhão está se aproximando do vértice do espelho à velocidade de 1,5 m / s quando o caminhão está a 2,0 m de distância, qual é a velocidade do caminhão em relação à estrada?

Passo 1

Resumo do Problema: Estamos dirigindo a uma velocidade de 25 , m/s em uma autoestrada e observamos um caminhão se aproximando através de um espelho convexo com raio de curvatura de 150 , cm. Notamos que a imagem do caminhão no espelho está se aproximando do vértice a uma velocidade de 1,5 , m/s quando o caminhão está a 2,0 , m de distância. Nosso objetivo é determinar a velocidade real do caminhão em relação à estrada. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de óptica de espelhos e relacionar as velocidades do objeto e da imagem.

Passo 2

Convertendo o Raio de Curvatura para Distância Focal: A distância focal ( f) de um espelho é metade do seu raio de curvatura ( R). Portanto:
f = R2 = 150 , cm2 = 75 , cm = 0,75 , m

Passo 3

Aplicando a Equação dos Espelhos: A relação entre a distância focal ( f), a distância do objeto ( do) e a distância da imagem ( di) é dada por:
1f = 1do + 1di
Como estamos lidando com um espelho convexo, a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho, o que significa que a distância da imagem ( di) será positiva.

Passo 4

Relacionando as Velocidades do Objeto e da Imagem: Diferenciando a equação dos espelhos em relação ao tempo ( t), temos:
0 = -1do^2 cdot d dodt + 1di^2 cdot d didt
Aqui, d dodt representa a velocidade do caminhão ( vcaminhãoã) em relação ao espelho, e d didt representa a velocidade da imagem ( vima>=m).
Rearranjando a equação:
vcaminhão = ( di^2do^2 ) cdot vima>=m ã

Passo 5

Calculando a Velocidade do Caminhão:
Primeiro, substituímos os valores conhecidos:
do = 2,0 , m, di = 1,2 , m (calculado a partir da equação dos espelhos), vima>=m = -1,5 , m/s çã
Aplicando na fórmula:
vcaminhão = ( (1,2)^2(2,0)^2 ) cdot (-1,5) = ( 1,444,0 ) cdot (-1,5) = 0,36 cdot (-1,5) = -0,54 , m/s ã
Considerando que a velocidade do caminhão em relação ao espelho é a soma da velocidade do caminhão em relação à estrada ( vestrada) e a velocidade do carro ( 25 , m/s):
vcaminhão = vestrada + 25 , m/s ã
Então:
-0,54 = vestrada + 25 implies vestrada = -0,54 - 25 = -25,54 , m/s
Como a velocidade não pode ser negativa em termos de magnitude, consideramos o valor absoluto:
vestrada = 25,54 , m/s

Resposta

A velocidade do caminhão em relação à estrada é de aproximadamente 25,5 , m/s.

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