(Ex.34.73) Você está dirigindo seu carro em uma auto-estrada a
quando olha no espelho do lado do passageiro (um espelho convexo com raio de curvatura de 150 cm ) e nota um caminhão se aproximando. Se a imagem do caminhão está se aproximando do vértice do espelho à velocidade de
quando o caminhão está a
de distância, qual é a velocidade do caminhão em relação à estrada?
Passo 1
Resumo do Problema: Estamos dirigindo a uma velocidade de
em uma autoestrada e observamos um caminhão se aproximando através de um espelho convexo com raio de curvatura de
. Notamos que a imagem do caminhão no espelho está se aproximando do vértice a uma velocidade de
quando o caminhão está a
de distância. Nosso objetivo é determinar a velocidade real do caminhão em relação à estrada. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de óptica de espelhos e relacionar as velocidades do objeto e da imagem.
Passo 2
Convertendo o Raio de Curvatura para Distância Focal: A distância focal (
) de um espelho é metade do seu raio de curvatura (
). Portanto:
Passo 3
Aplicando a Equação dos Espelhos: A relação entre a distância focal (
), a distância do objeto (
) e a distância da imagem (
) é dada por:
Como estamos lidando com um espelho convexo, a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho, o que significa que a distância da imagem (
) será positiva.
Passo 4
Relacionando as Velocidades do Objeto e da Imagem: Diferenciando a equação dos espelhos em relação ao tempo (
), temos:
Aqui,
representa a velocidade do caminhão (
) em relação ao espelho, e
representa a velocidade da imagem (
).
Rearranjando a equação:
Passo 5
Calculando a Velocidade do Caminhão:
Primeiro, substituímos os valores conhecidos:
Aplicando na fórmula:
Considerando que a velocidade do caminhão em relação ao espelho é a soma da velocidade do caminhão em relação à estrada (
) e a velocidade do carro (
):
Então:
Como a velocidade não pode ser negativa em termos de magnitude, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A velocidade do caminhão em relação à estrada é de aproximadamente
.