Uma estrela tem inicialmente um raio igual a 6 times 10^8 m e um periodo de rotação igual a 30 dias. Eventualmente ela evolui para uma estrela de nêutrons com raio e periodo respectivamente iguais a 10^4 m e 0.1 s . Considere que a massa da estrela não muda e que seu momento de inércia é igual a I=25 M R^2. Determine a razão entre os momentos angulares inicial e final da estrela. Apresente seu resultado com 1 casa decimal.

Passo 1

Vamos resumir o problema! Temos uma estrela que inicialmente tem um raio de metros e gira com um período de rotação de 30 dias. Eventualmente, essa estrela se transforma em uma estrela de nêutrons com um raio de metros e um período de rotação de 0,1 segundos. A massa da estrela não muda durante esse processo, e o momento de inércia é dado por . Nosso objetivo é descobrir a razão entre os momentos angulares inicial e final dessa estrela. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento angular. O momento angular ( L = I cdot omega ) de um objeto em rotação é dado pela fórmula:
omega = 2piT
Onde:
  • é o momento de inércia.
  • é a velocidade angular.
A velocidade angular ( ) está relacionada ao período de rotação ( ) pela fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia inicial ( I1 = 25 M R1^2 = 25 M (6 times 10^8, m)^2 ) e final ( I2 = 25 M R2^2 = 25 M (10^4, m)^2 ) usando a fórmula .
Para o estado inicial:
Para o estado final:

Passo 4

Agora, vamos calcular as velocidades angulares inicial ( T1 = 30, dias = 30 times 86400, segundos = 2.592 times 10^6, s ) e final ( omega1 = 2piT1 = 2pi2.592 times 10^6 approx 2.424 times 10^-6, rad/s ) usando T2 = 0.1, s .
Para o estado inicial:
omega2 = 2piT2 = 2pi0.1 = 62.832, rad/s
Para o estado final:

Passo 5

Com os valores de L1 = I1 cdot omega1 = 25 M (6 times 10^8)^2 cdot 2.424 times 10^-6 e L2 = I2 cdot omega2 = 25 M (10^4)^2 cdot 62.832 calculados, podemos determinar os momentos angulares inicial e final.
Para o estado inicial:
Para o estado final:

Passo 6

Queremos encontrar a razão entre os momentos angulares inicial e final, ou seja, L1L2 = 25 M R1^2 cdot omega125 M R2^2 cdot omega2 = R1^2 cdot omega1R2^2 cdot omega2 .
Substituindo as expressões de e :
Note que a massa e o fator cancelam na razão.

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
R1 = 6 times 10^8, m, R2 = 10^4, m
omega1 approx 2.424 times 10^-6, rad/s, omega2 = 62.832, rad/s
Então:
L1L2 = (6 times 10^8)^2 cdot 2.424 times 10^-6(10^4)^2 cdot 62.832
Calculando os termos:
(6 times 10^8)^2 = 36 times 10^16, m^2
(10^4)^2 = 1 times 10^8, m^2
Substituindo:
L1L2 = 36 times 10^16 cdot 2.424 times 10^-61 times 10^8 cdot 62.832

Passo 8

Vamos simplificar os cálculos:
36 times 10^16 cdot 2.424 times 10^-6 = 8.7264 times 10^11
1 times 10^8 cdot 62.832 = 6.2832 times 10^9
Portanto:
L1L2 = 8.7264 times 10^116.2832 times 10^9 approx 138.9

Resposta

A razão entre os momentos angulares inicial e final da estrela é aproximadamente 13.9.

Exercícios relacionados