1. Um paralelograma possui diagonais determinadas pelos vetores
d1=[l 2 2 0 ] e d2=[r 1 -1 3 ]
Mostre que este paralelograma é um losango (todos os lados têm o mesmo comprimento) e determine o comprimento do lado.

Passo 1

Vamos lá! Temos um paralelogramo cujas diagonais são representadas pelos vetores e . Nosso objetivo é mostrar que esse paralelogramo é um losango, ou seja, que todos os lados têm o mesmo comprimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como a relação entre as diagonais e os lados de um paralelogramo, além de calcular normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em um paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio. Além disso, se um paralelogramo tem diagonais de mesmo comprimento, ele é um retângulo. Porém, para ser um losango, precisamos que todos os lados tenham o mesmo comprimento, independentemente do comprimento das diagonais.

Passo 3

No caso do losango, podemos relacionar os vetores das diagonais com os vetores dos lados. Seja d1 = u + v e d2 = u - v e os vetores que representam os lados do paralelogramo. As diagonais são dadas por:

Passo 4

Para que todos os lados tenham o mesmo comprimento, precisamos que . Vamos verificar essa condição calculando as normas dos vetores que representam as diagonais e relacionando com os lados.

Passo 5

Primeiro, calculamos as normas das diagonais:
|d1| = raiz2^2 + 2^2 + 0^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2
|d2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11

Passo 6

Sabemos que, em um losango, as diagonais são perpendiculares e satisfazem a relação:
|d1|^2 + |d2|^2 = 4|u|^2
Vamos verificar se isso se mantém:
(2raiz2)^2 + (raiz11)^2 = 8 + 11 = 19
Então:
4|u|^2 = 19 Rightarrow |u|^2 = 194 Rightarrow |u| = raiz192

Passo 7

Como , todos os lados do paralelogramo têm o mesmo comprimento, confirmando que ele é um losango.

Resposta

O paralelogramo é um losango e cada lado possui comprimento igual a unidades.

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