Um paralelograma possui diagonais determinadas pelos vetores
Mostre que este paralelograma é um losango (todos os lados têm o mesmo comprimento) e determine o comprimento do lado.
Passo 1
Vamos lá! Temos um paralelogramo cujas diagonais são representadas pelos vetores e . Nosso objetivo é mostrar que esse paralelogramo é um losango, ou seja, que todos os lados têm o mesmo comprimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como a relação entre as diagonais e os lados de um paralelogramo, além de calcular normas de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembramos que em um paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio. Além disso, se um paralelogramo tem diagonais de mesmo comprimento, ele é um retângulo. Porém, para ser um losango, precisamos que todos os lados tenham o mesmo comprimento, independentemente do comprimento das diagonais.
Passo 3
No caso do losango, podemos relacionar os vetores das diagonais com os vetores dos lados. Seja e os vetores que representam os lados do paralelogramo. As diagonais são dadas por:
Passo 4
Para que todos os lados tenham o mesmo comprimento, precisamos que . Vamos verificar essa condição calculando as normas dos vetores que representam as diagonais e relacionando com os lados.
Passo 5
Primeiro, calculamos as normas das diagonais:
Passo 6
Sabemos que, em um losango, as diagonais são perpendiculares e satisfazem a relação:
Vamos verificar se isso se mantém:
Então:
Passo 7
Como , todos os lados do paralelogramo têm o mesmo comprimento, confirmando que ele é um losango.
Resposta
O paralelogramo é um losango e cada lado possui comprimento igual a unidades.