Em cada um dos casos verifique se o conjunto contido no espaço vetorial é um subespaço do espaço vetorial . Lembramos aqui que são os polinômios em são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de em .
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Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício. Nos pedem para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, é o conjunto de todas as funções deriváveis com derivadas contínuas de para . O conjunto é formado pelas funções em que satisfazem a condição para todo em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (no nosso caso, funções) que satisfaz três propriedades principais:
Conjunto não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores no conjunto também está no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Qualquer vetor no conjunto multiplicado por um escalar também está no conjunto.
Se o satisfizer essas três propriedades dentro de , então é um subespaço de .
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: Conjunto não vazio. Precisamos mostrar que existe pelo menos uma função em . A função zero, que é definida por para todo , está em porque é derivável e sua derivada é contínua (também zero). Além disso, ela satisfaz para todo . Portanto, o conjunto não está vazio.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se tivermos duas funções e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que implica e implica . Vamos somar essas duas equações:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos uma função em e um escalar , então a função também deve estar em .
Sabemos que implica . Vamos multiplicar essa equação por :
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .