Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
d)
d)
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício. Nos pedem para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Aqui,
é o conjunto de todas as funções deriváveis com derivadas contínuas de
para
. O conjunto
é formado pelas funções em
que satisfazem a condição
para todo
em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores (no nosso caso, funções) que satisfaz três propriedades principais:
- Conjunto não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
- Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores no conjunto também está no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Qualquer vetor no conjunto multiplicado por um escalar também está no conjunto.
Se o
satisfizer essas três propriedades dentro de
, então
é um subespaço de
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: Conjunto não vazio. Precisamos mostrar que existe pelo menos uma função em
. A função zero, que é definida por
para todo
, está em
porque é derivável e sua derivada é contínua (também zero). Além disso, ela satisfaz
para todo
. Portanto, o conjunto
não está vazio.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se tivermos duas funções
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que
implica
e
implica
. Vamos somar essas duas equações:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos uma função
em
e um escalar
, então a função
também deve estar em
.
Sabemos que
implica
. Vamos multiplicar essa equação por
:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço do espaço vetorial
.