Em cada um dos casos verifique se o conjunto W contido no espaço vetorial V é um subespaço do espaço vetorial V. Lembramos aqui que F[x] são os polinômios em F, C^1(R) são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de R em R.
d) W=f in C^1(R) mid f(t)+f^prime(t)=0 forall t in R, V=C^1(R)

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício. Nos pedem para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, é o conjunto de todas as funções deriváveis com derivadas contínuas de para . O conjunto é formado pelas funções em que satisfazem a condição para todo em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (no nosso caso, funções) que satisfaz três propriedades principais:
  1. Conjunto não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores no conjunto também está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Qualquer vetor no conjunto multiplicado por um escalar também está no conjunto.
Se o satisfizer essas três propriedades dentro de , então é um subespaço de .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: Conjunto não vazio. Precisamos mostrar que existe pelo menos uma função em . A função zero, que é definida por para todo , está em porque é derivável e sua derivada é contínua (também zero). Além disso, ela satisfaz para todo . Portanto, o conjunto não está vazio.

Passo 4

Agora, vamos verificar se f(t) + g(t) + f^prime(t) + g^prime(t) = 0 + 0 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se tivermos duas funções (f + g)(t) + (f + g)^prime(t) = 0 e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que implica e implica . Vamos somar essas duas equações:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se c cdot f(t) + c cdot f^prime(t) = c cdot 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos uma função (c cdot f)(t) + (c cdot f)^prime(t) = 0 em e um escalar , então a função também deve estar em .
Sabemos que implica . Vamos multiplicar essa equação por :
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .

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