Escreva, se possível, w como combinação linear de v1, v2 e v3 :
v1=(1,2), v2=(-2,3), v3=(5,4) e w=(-4,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o vetor w = (-4, 1) como uma combinação linear dos vetores v1 = (1, 2), v2 = (-2, 3) e v3 = (5, 4). Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar coeficientes c1, c2 e c3 tais que:
c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3 = w
Substituindo os vetores, temos:
c1 cdot (1, 2) + c2 cdot (-2, 3) + c3 cdot (5, 4) = (-4, 1)

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes x e y:
  1. Na direção x:
1 cdot c1 - 2 cdot c2 + 5 cdot c3 = -4
  1. Na direção y:
2 cdot c1 + 3 cdot c2 + 4 cdot c3 = 1
Com isso, temos um sistema de duas equações com três incógnitas.

Passo 4

Como temos mais incógnitas do que equações, o sistema tem infinitas soluções. Vamos escolher um valor para uma das variáveis para simplificar. Vamos supor que c3 = t, onde t é um parâmetro real.

Passo 5

Substituindo c3 = t nas equações:
  1. c1 - 2c2 + 5t = -4 c1 = 2c2 - 5t - 4
  2. 2c1 + 3c2 + 4t = 1
Agora, substituímos c1 da primeira equação na segunda:
2(2c2 - 5t - 4) + 3c2 + 4t = 1
Expandindo:
4c2 - 10t - 8 + 3c2 + 4t = 1
Juntando termos semelhantes:
7c2 - 6t - 8 = 1
Isolando c2:
7c2 = 6t + 9 Rightarrow c2 = 6t + 97

Passo 6

Agora, voltamos para a expressão de c1:
c1 = 2c2 - 5t - 4 = 2(6t + 97) - 5t - 4 = 12t + 187 - 5t - 4
Simplificando:
c1 = 12t + 18 - 35t - 287 = -23t - 107

Passo 7

Então, temos:
c1 = -23t - 107, c2 = 6t + 97, c3 = t
Isso significa que podemos expressar w como:
w = (-23t - 107)v1 + (6t + 97)v2 + tv3
Onde t pode ser qualquer número real.

Resposta

A combinação linear de w = (-4, 1) em termos de v1, v2 e v3 é:
w = (-23t - 107)v1 + (6t + 97)v2 + tv3
Onde t é um número real qualquer.

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