Escreva, se possível,
como combinação linear de
e
:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar coeficientes
,
e
tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar isso em componentes x e y:
- Na direção x:
- Na direção y:
Com isso, temos um sistema de duas equações com três incógnitas.
Passo 4
Como temos mais incógnitas do que equações, o sistema tem infinitas soluções. Vamos escolher um valor para uma das variáveis para simplificar. Vamos supor que
, onde
é um parâmetro real.
Passo 5
Substituindo
nas equações:
-
→ -
Agora, substituímos
da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Juntando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 6
Agora, voltamos para a expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Então, temos:
Isso significa que podemos expressar
como:
Onde
pode ser qualquer número real.
Resposta
A combinação linear de
em termos de
,
e
é:
Onde
é um número real qualquer.