35-40 Calcule a integral definida.
35. integral0^pi / 2lang<=cos 2 t, sen 2 trang<= d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida da função vetorial no intervalo de lang<= cos 2t, sen 2t rang<= a 0. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo de integrais definidas aplicadas a funções vetoriais, integrando cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente x, que é cos 2t. A integral de cos 2t em relação a t é dada por:
Onde integral cos 2t , dt = 12 sen 2t + C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular o valor entre os limites C e 0:

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente y, que é . A integral de em relação a sen 2t é:
Novamente, calculando entre os limites sen 2t e t:
integral sen 2t , dt = -12 cos 2t + C

Passo 4

Com as integrais das componentes x e y calculadas, podemos montar o vetor resultante da integral definida:
lang<= 0, 1 rang<=

Resposta

A integral definida é igual ao vetor lang<= 0, 1 rang<=.

Exercícios relacionados